Stochastik-Frage betreff Glücksspiel

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Frage zur Stochastik.

Im Unterricht hat jemand folgende Behauptung aufgestellt:

Bei Lottospielen sei es praktisch ausgeschlossen, dass zweimal in Folge dieselben Zahlen gezogen werden.Die Begründung war folgende: Es sei technisch nicht möglich, dass die exakt gleichen Bedingungen wieder auftreten (Laufzeit bis zur Ziehung der jeweiligen Zahlen, die auf Zufall beruht oder der Zustand der´Kugeln nach dem Hineinfallen in die Trommel bzw. nach jeder Ziehung einer Kugel).

Was kann man dem entgegenhalten? Oder hat der, der das behauptet Recht. Ich neige zu dieser Ansicht.

Problem/Ansatz:

Ich habe folgende Aussage einer KI zu diesem Thema erhalten:

Es sind keine bestätigten Fälle bekannt, bei denen alle sechs Lottozahlen in „Lotto 6aus49“ zweimal hintereinander exakt gleich gezogen wurden.

Comments

Du kannst die Wahrscheinlichkeit leicht berechnen, sie ist genauso groß wie 6 Richtige zu haben.

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Beim einer Lotterie "6 aus 49" gibt es \( \begin{pmatrix} 49\\6 \end{pmatrix} = 13983816 \) mögliche Ereignisse.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer zweiten Ziehung dieselben Zahlen zu haben, ist  \( 1/ 13983816 \approx 0,000007 \, \% \).

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer zweiten Ziehung vorher festgelegte andere Zahlen zu haben, ist ebenfalls  \( 1/ 13983816 \approx 0,000007 \, \% \).

Siehe auch https://www.mathelounge.de/849953/

Answer 1

Im Unterricht hat jemand folgende Behauptung aufgestellt:
Bei Lottospielen sei es praktisch ausgeschlossen, dass zweimal in Folge dieselben Zahlen gezogen werden.

Das ist gar nicht ausgeschlossen, sondern nur sehr unwahrscheinlich. Wäre es ausgeschlossen, dann müsste das Spiel bei einer Ziehung ja noch wissen, welche Zahlen eine Ziehung zuvor gezogen wurden. Das ist aber nicht der Fall, die Behauptung ist also falsch.

Die Begründung war folgende: Es sei technisch nicht möglich, dass die exakt gleichen Bedingungen wieder auftreten (Laufzeit bis zur Ziehung der jeweiligen Zahlen, die auf Zufall beruht oder der Zustand der Kugeln nach dem Hineinfallen in die Trommel bzw. nach jeder Ziehung einer Kugel).

Das ist auch gar nicht notwendig. Wenn ich mit einem gewöhnlichen Würfel eine Sechs werfe, kann mir dies beim nächsten Wurf unter anderen Bedingungen (zum Beispiel auf einem anderen Tisch oder mit einem anderen Würfel) sehr wohl wieder gelingen. Die Begründung ist ebenfalls falsch.

Comments

Das ging aber schnell mit der Antwort. Vielen Dank.

Sind die Umgebungsbedingungen beim Lotto nicht viel komplizierter? Beim Würfeln gibt es nur 6 Zahlen, beim Lotto 49 und die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige ist 1 zu 14 Mio d.h. dass sie für 2 identische 6er bei 1zu 14 Mio im Quadrat liegt.Daher ist es extrem unwahrscheinlich, dass so etwas passiert, oder? 2mal in Folge dieselben 6 Zahlen zu würfeln ist viel wahrscheinlicher, zumal die Reihenfolge keine Rolle spielt. Wie würde man sie hier berechnen?Hier dürfen sich die Zahlen wiederholen, beim Lotto nicht.

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Wenn du einen Würfel zweimal hintereinander wirfst, dann ist die Wahrscheinlichkeit etwa 1/6, dass beim zweiten Wurf die gleiche Zahl auftritt wie beim ersten Wurf.

Wenn zweimal hintereinander die Lottozahlen gezogen werden, dann ist die Wahrscheinlichkeit etwa 1/14000000, dass bei der zweiten Ziehung die gleichen Zahlen auftreten, wie in der ersten Ziehung.

Quadriert werden würde nur, wenn es um eine konkrete Augenzahl beim Würfeln oder um 6 konkrete festgelegte Zahlen beim Lotto geht.

Answer 2

Grüß dich.

Es liegt ein Missverständnis vor.

Natürlich ist es technisch möglich. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist nur extrem gering. Ich erkläre dir nun die Herleitung:

Das Lottospielen ist ein kombinatorisches Problem, wo man von 49 Feldern ohne Wiederholen sechs Felder belegt.

D.h. wir fragen uns erstmal wieviel Möglichkeiten gibt es überhaupt von 49 Feldern sechs Felder auszuwählen, unabhängig davon, ob diese sechs Felder jetzt die Richtigen sind.

Wir nummerieren die 49 Felder mit den Zahlen 1,2,3,…,49. Die Frage ist, wieviel Möglichkeiten gibt es aus der Menge {1,2,…,49} mit 49 Elementen Teilmengen mit sechs Elementen zu wählen, also z.B. {1,2,…,6}, {3,4,7,8,44,33} usw….

Die Anzahl dieser Möglichkeiten ist genau (49 6) (Binomialkoeffizient 49 über 6).

Nun ist aber natürlich nur eine Teilmenge mit sechs Elementen die Richtige.

D.h. wir berechnen hier die Wahrscheinlichkeit genau diese eine richtige Teilmenge zu ziehen, in dem wir die Anzahl der günstigen Fälle (hier die eine Richtige Teilmenge) mit der Anzahl der möglichen Fälle (hier die (49 6) möglichen Teilmengen) teilen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir also die richtigen Felder belegen ist genau 1/(49 6) ≈ 0.0000000715, also extrem gering, aber von Null verschieden.

Ich hoffe, das klärt dein Problem.

Liebe Grüße

Answer 3

Bei Lottospielen sei es praktisch ausgeschlossen

Da müsste man zunächst klären, was mit praktisch ausgeschlossen gemeint ist.

Oft meint man damit nicht, dass etwas unmöglich ist, sondern nur extrem unwahrscheinlich.

Da es rund 14 Millionen mögliche Kombinationen gibt, würde bei etwa 14 Millionen Ziehungen im Schnitt einmal dieselbe Zahlenkombination erneut auftreten. Laut meiner KI gab es bisher nicht einmal 7000 Ziehungen insgesamt. Es wird also vermutlich noch lange dauern, bis so ein Fall eintritt. Theoretisch könnte es aber auch schon nächste Woche passieren.

Übrigens ist jede einzelne Kombination für sich betrachtet extrem unwahrscheinlich. Dennoch wird garantiert eine davon bei der nächsten Ziehung gezogen. Das zeigt, dass „unwahrscheinlich“ nicht gleich „unmöglich“ bedeutet.

Ein Beispiel: Auch sechs aufeinanderfolgende Zahlen wären äußerst selten. Ich habe nicht nachgeschaut, aber vermutlich ist so etwas bisher auch noch nie vorgekommen.