Question

Eine grade quadratische Pyramide hat die Grundfläche ABCD    A(0/0/3) , B(4/4/5)  , C   , D(4/-2/-1) .  Die Spitze S liegt in der Ebene ε:z=8.

a)Ermitteln Sie dei Koordinaten von C  und S. 

b) Berechnen sie das Volumen der Pyramide.

Answer 1

Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundfläche ABCD.

A = [0, 0, 3], B = [4, 4, 5], C = [?, ?, ?], D = [4, -2, -1]

Die Spitze S liegt in der Ebene E: z = 8.

a) Ermitteln Sie die Koordinaten von C und S.

C = B + AD = B + D - A = [4, 4, 5] + [4, -2, -1] - [0, 0, 3] = [8, 2, 1]

M = 1/2·(B + D) = 1/2·([4, 4, 5] + [4, -2, -1]) = [4, 1, 2]

N = AB ⨯ AD = ([4, 4, 5] - [0, 0, 3]) ⨯ ([4, -2, -1] - [0, 0, 3]) = [-12, 24, -24] = -12·[1, -2, 2]

S = M + r·N = [4, 1, 2] + r·[1, -2, 2] = [x, y, 8]

x = 7 ∧ y = -5 ∧ r = 3

S = [7, -5, 8]

b) Berechnen sie das Volumen der Pyramide.

V = 1/3 * (AB ⨯ AD) ⋅ AS

V = 1/3·(([4, 4, 5] - [0, 0, 3]) ⨯ ([4, -2, -1] - [0, 0, 3])) ⋅ ([7, -5, 8] - [0, 0, 3]) = -108

Das Volumen beträgt 108 VE.