Vieleck dessen Ecken alle auf einem Kreis liegen

Question

Gegeben ist ein Vieleck, dessen Ecken alle auf einem Kreis liegen.Wie viele Seiten hat ein solches Vieleck, bei dem

a) Die Anzahl der Diagonalen 44 beträgt?

b) Die Summe aus der Anzahl der Diagonalen und der Anzahl der Seiten 120 beträgt?

Kann mir bitte jemand die Aufgaben mit dem Rechenweg lösen??

Answer 1

Vermutlich ist gemeint, dass man anders zählt, als georgborn das gemacht hat.

Oft wird in einem Vieleck jede Strecke als Diagonale bezeichnet, die 2 beliebige nicht nebeneinanderliegende Ecken des Vielecks enthält.

Das würde hier heissen, dass in jeder Ecke des n-Ecks genau n-3 Diagonalen zusammenlaufen.

Es gibt daher

n*(n-3) / 2 solche Diagonalen. Durch 2, damit man die Diagonalen nicht doppelt zählt.

Nun bei a) die Gleichung

n*(n-3)/2 = 44 nach n auflösen.

Die einzige positive Lösung der Gleichung ist n= 11.

Bei b)

Anzahl Seiten + Diagonalen ist

n + n*(n-3)/2 

Die Gleichung bei b) daher n + n*(n-3)/2 = 120

Hier kommt man auf n=16

Comments

@Lu
ich bin ja hier im Forum um auch noch zu
lernen. Siehe mein Profil.
Ich hatte mir zunächst ein in einen Kreis
einbeschriebenes Viereck vorgestellt bei dem
die Diagonale zugleich der Durchmesser ist.
Bei allen anderen Vielecken habe ich das auch
so angenommen. Das ist alles.

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Ich bin zu doof um das hier aufzulösen: n*(n-3)/2=119 - raten kann ichs, aber rechnen? Dank, Fred.

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Auflösen sollst du etwas anderes, nämlich:

n + n*(n-3)/2 = 120     |*2

2n + n(n-3) = 240  

2n + n^2 - 3n = 240

n^2 - n - 240 = 0      |Quadratische Gleichung.

n1,2 = 1/2 ( 1 ± √ (1 + 4*240))

= 1/2 (1± √(961) )

= 1/2 (1 ± 31)

n1 = 32/2 = 16

n2 = -30/2 = -15 , für Vielecke irrelevant. 

Daher n= 16. 

Die Quadratische Gleichung solltest du als solche erkennen und die Lösungsformeln nachschlagen. Mit Hilfe des Satzes von Vieta könnte man auch systematisch raten.

n^2 - 1n - 240 = 0         

(n  ?  a)(n  ? b) = 0, da 15*(-16) = - 240 und 15 - 16 = -1. 

( n - 16)(n+15) = 0

und dann ablesen n1 = 16 und n2 = -15.

Wiederum ist geometrisch nur n1 relevant. 

Answer 2

Gegeben ist ein Vieleck, dessen Ecken alle auf einem Kreis liegen.
Wie viele Seiten hat ein solches Vieleck, bei dem

a) Die Anzahl der Diagonalen 44 beträgt?
Jede Diagonale schneidet den Kreis 2 Mal.
Das sind die Ecken des Vielecks = 88 Ecken
Die Eckpunkte werden nun verbunden.
Das ergibt 88 Seiten.
Bei Bedarf einmal ein Viereck oder Sechseck zeichnen.

b) Die Summe aus der Anzahl der Diagonalen und
der Anzahl der Seiten 120 beträgt?
Anzahl der Diagonalen * 2 ergibt die Anzahl der Ecken
und damit auch die Anzahl der Seiten.
Formel : Diagonale + Seiten = Diagonale + 2 * Diagonale = 120
3 Diagonale = 120
Diagonale = 40
Seiten = 80

Comments

da ist dein Diagonalenbegriff doch etwas arg daneben

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Standardtext auf Hinweise zu Fehlern oder vermeintlchen
Fehlern meinerseits.
Bitte direkt den genauen Grund und Fehlerzeile angeben.
Eventuell auch die notwendige Berichtigung  oder die
Gegenrechnung anführen. Ansonsten erfolgt keine
Reaktion.

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Du gehst offenbar von einem regulären Vieleck aus und zählst als Diagonalen nur die Symmetrieachsen.

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WAR ich von ausgegangen. Ich habe mittlerweile deine
Erklärung und die bei Wikipedia gelesen.