Question

Faktorisiere vollständig!
2x² + 16x + 40

Comments

Ich halte die Formulierung "faktorisiere vollständig" für unangemessen. Denn selbst wenn man mit Gewalt etwa Pi ausklammert, ist der Term anschließend faktorisiert und "mehr" faktorisiert ist ebenso unsinnig wie "ein bisschen schwanger". Wie seht ihr das?

---

Wir haben bereits drei mögliche Varianten der Beantwortung durchdiskutiert.

---

Über welchem Körper soll die Aufgabe den betrachtet werden?

---

Das wurde auch schon gründlich diskutiert: imaginäre Zahlen mag der Fragesteller nicht.

---

Neben ℂ gibt genügend andere Körper...

---

Ich bevorzuge die Körper aus der Menge $$ \mathbb{F} $$ oder auch $$ \mathbb{W} $$

Was willst du denn mit solchen Geschichten bei einer Mittelstufenaufgabe ?

Wenn man sich genügend verbiegt, wird es schon irgendwas geben, womit man den Term faktorisieren kann, ohne auf komplexe Zahlen zurückgreifen zu müssen (ich hätt da auch schon eine Idee).

Nur würde das dem zu vermutendem Niveau aus dem Umfeld der Aufgabenstellung nicht gerecht fürchte ich.

Answer 1

Vielleicht kann man soweit möglich mit der quadratischen Ergänzung arbeiten, bis man bei den imaginären ankommt:
$$ 2x^2 + 16x + 40 $$
$$ 2(x^2 + 8x + 20) $$
$$ 2(x^2 + 8x +16-16+ 20) $$
$$ 2\left((x^2 + 8x +16)-16+ 20\right) $$
$$ 2\left((x +4)^2-16+ 20\right) $$
$$ 2\left((x +4)^2+4\right) $$
$$ 2\left((x +4)(x +4)+4\right) $$
$$ 2\left((x +4)(x +4)\right)+8 $$
$$ 2(x +4)(x +4)+8 $$

Comments

Wie meinste das? So wäre es ja Aufgabenstellung verfehlt. Das am Ende ist ja kein Produkt mehr...

---

War ja nur ein Vorschlag, was machbar ist, ohne komplexe Zahlen touchieren zu müssen.

Eine wirklich korrekte Faktorisierung ist freilich nur mit komplexen möglich, aber die wollte der Fragesteller ja nicht.

---

"Eine wirklich korrekte Faktorisierung" wäre es auch die 2 auszuklammern. Da ist auch nix komplex...

Answer 2

mehr als

2(x^2+8x+20)

kann man da eigentlich nicht machen, da es keine reellen Nullstellen gibt und es demnach nicht in Linearfaktorschreibweise überführt werden kann.

Grüße

Comments

vielen Dank erstmals! Wie sicher bist du dir da? Hab die Lösung leider nicht, eriinnere mich aber ohne Garantie, dass da noch mehr geht.

Freundliche Grüsse  M.Z.

---

Mit Deiner Aufgabe relativ sicher.

Ich vermute da aber einen Fehler. Du hast wahrscheinlich ein Minus unterschlagen.

Nehmen wir mal:

-2x^2 + 16x + 40

Da sieht das anders aus:

-2(x^2 - 8x - 20)

Nun kann man den quadratischen Teil in Linearfaktorschreibweise überführen, wenn man sich ein Nullstellenproblem anschaut:

x^2 - 8x - 20 = 0   |pq-Formel

x₁ = -2

x₂ = 10

--> Linearfaktorschreibweise also: (x+2)(x-10)

Insgesamt also: -2(x+2)(x-10)

;)

---

Hatte erst auch sowas vermutet. Hab aber kein Minus unterschlagen. Die Aufgabe habe ich einer Prüfung entnommen, die wahrscheinlich schon 100 Mal durchgeführt wurde ; ). Einzig die 2 ausklammern wird dem Niveau der Prüfung nicht gerecht.

---

Verrate doch die angebliche Lösung. Du kannst sie ja durch ausmultiplizieren kontrollieren.

Darfst du denn komplexe Zahlen im Resultat haben? https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorize+2x%5E2+%2B+16x+%2B+40+

---

Nein, keine komplexen Zahlen. Die Lösung habe ich leider nicht. Konnte bisher nur die 2 ausklammern.

---

Mehr ist auch nicht zu machen ;). Siehe meinen ersten Kommentar. Auf eine solche Weise kann man die Deine Funktion nicht umformen, da keine reelle Nullstellen vorhanden.

---

Ok, vielen Dank für die Antworten!

---

Kein Ding ;).

---

@unknown

zitat:

Nehmen wir mal:

-2x² + 16x + 40

Da sieht das anders aus:

-2(x² + 8x + 20)

Nun kann man den quadratischen Teil in Linearfaktorschreibweise überführen, wenn man sich ein Nullstellenproblem anschaut:

x² + 8x + 20 = 0   |pq-Formel

zitat ende

bei diesem Zwischenschritt hast du zwei Minus unterschlagen - denn so bringt das auch keine reellen Nullstellen!

---

Merci. Copy und Paste halt^^. (Korrigiert)

Answer 3

Für deinen Term gibt es nur eine vollständige Faktorisierung in den komplexen Zahlen

2·x^2 + 16·x + 40 = 2·(x^2 + 8·x + 20) = 2·(x + 4 + 2·i)·(x + 4 - 2·i)

Wenn das nicht erwünscht ist dann geht halt nur die 2 auszuklammern.