Gegeben seien die Raumpunkte AB. Wie lang ist die Strecke AB?

Question

Gegeben seien die Raumpunkte \( A(-3|2| 6) \) und \( B(1|3| 2) \).

(a) Wie lang ist die Strecke \( \overline{A B} \) ?

(g) Die Sonne scheint, und die Strecke \( \overline{A B} \) macht einen Schatten auf dem Boden - das ist die \( x y \)-Ebene. Der Schatten von \( A \) ist \( A^{\prime}(3|-1| 0) \). Wo ist der Schattenpunkt \( B^{\prime} \) von \( B ? \) Zeichne eine Skizze zu deinem Ansatz.

Answer 1

Länge der Strecke: Bilde den Vektor von A nach B indem du die Koordinaten stellenweise subtrahierst. Die Länge der Strecke ist dann die Länge des Vektors (Pythagoras).

Per Annahme nehmen wir den Schattenwurf als parallel an: Dann bilde den Vektor von A nach A' und addiere ihn zum Ortsvektor von B um B' zu erhalten.

Wie bildet man den Vektor zwischen 2 Punkten?

Für die Punkte A (xa/ya/za) und B(xb/yb/zb) beschreibt man den Vektor von A nach B durch

$$ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} x_b - x_a \\ y_b - y_a \\ z_b - z_a \end{pmatrix} $$

Comments

Danke . Aber die Frage lautet doch eigentlich, wo der Schaten B' ist?

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Muss man da nicht den Schnittpunkt der Gerade B B' mit der Ebene bilden? Es kann ja sein, dass der Richtungsvektor A A' an B angehängt, die Ebene schon durchstösst.

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Hi,

ja stimmt, sorry hab mir die Punkte nicht genau genug angesehen, dachte die liegen auf einer Höhe.

im grunde müsstest du wie tiktok2 richtig anmerkt schauen wann die Gerade

$$ \vec{y} = \vec{B} + r \cdot \vec{AA'} $$

die x,y Eben durchstößt , also für welches r gilt

$$ z_B + r \cdot z_{AA'} = 0 $$

dann setzt du es in die Gerade ein und erhältst den Schattenpunkt B'

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Dankesehr. B' ist ja gesucht. Womit soll ich denn als erstes anfangen zu rechnen? Und wie bestimmte ich den schnittpunk?  B' habe ich doch nicht?

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Steht doch alles da...nochmal langsam durchlesen

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Du hast den Punkt A und A' gegeben. Damit hast du den Verschiebevektor zwischen Punkt und Schattenpunkt, nämlich A' - A.
Wenn du den hast kannst du eine Geradengleichung aufstellen: b = B + r(A' - A).
Diese Gerade schneidet irgendwo die Ebene z = 0. Das bedeutet, du musst den Wert von r der Geradengleichung b  bestimmen, bei dem z=0 wird. Wenn du r berechnet hast, einfach in die Geradengleichung einsetzen und du erhältst deinen Punkt B'.