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Leiten Sie Rekursionsformeln der Gestalt

anIn+2(x)=fn(x)+bnIn(x),nN0 a_{n} I_{n+2}(x)=f_{n}(x)+b_{n} I_{n}(x), n \in \mathbb{N}_{0}

für die folgenden unbestimmten Integrale her:

(a) In(x)=(1x2)n12dx(x<1) I_{n}(x)=\int\left(1-x^{2}\right)^{\frac{n-1}{2}} d x \quad(|x|<1)

(b) In(x)=tann(x)dx(π2<x<π2) I_{n}(x)=\int \tan ^{n}(x) d x \quad\left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right)

Geben Sie auch Stammfunktionen für spezielle Werte von n n an, die es im Prinzip erlauben, mit Hilfe der Rekursionsformel In(x) I_{n}(x) für alle nN0 n \in \mathbb{N}_{0} zu berechnen.

Hinweis: In Teil (a) führt partielle Integration zum Ziel, für Teil (b) beachte man tan(x)=1+tan2(x) \tan ^{\prime}(x)=1+\tan ^{2}(x) und verwende die Substitutionsregel.

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