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Die Marketingabteilung eines Druckmaschinenherstellers rechnet für eine neue Maschine

bei einer verkaufszahl von x stück mit einem gewinn (in euro) von
g (x) = 150x^2 - 1,3x^3 - 30 000.

a) bestimme den bereich der stückzahlen mit positivem gewinn

b) bei welcher stückzahl ist der gewinn am größten?

c) für welche stückzahlen beträgt der gewinn etwa 200 000 euro?
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G(x) = - 1.3·x^3 + 150·x^2 - 30000

a) bestimme den bereich der stückzahlen mit positivem gewinn

Nullstellen G(x) = 0

-1.3·x^3 + 150·x^2 - 30000 = 0

Da ich keine ganzzahligen Lösungen finde benutze ich das Newtonverfahren und finde Nullstellen bei

x = 113.5962769 ∨ x = -13.38687154 ∨ x = 15.17520995

Bei einer Funktion 3. Grades mit negativem Leitkoeffizient ist der positive Bereich 16 ≤ x ≤ 113.

b) bei welcher stückzahl ist der gewinn am größten?

Extremstellen G'(x) = 0

300·x - 3.9·x^2 = 0 

Lösung mit abc-Formel ist bei

x = 76.92307692 ∨ x = 0

Bei 77 Stück ist der Gewinn am größten.

c) für welche stückzahlen beträgt der gewinn etwa 200 000 euro?

G(x) = 200000

- 1.3·x^3 + 150·x^2 - 30000 = 200000

Das Newtonverfahren liefert die Lösungen

x = 53.44519659 ∨ x = -34.37160459 ∨ x = 96.31102338

Also bei 53 und 96 Stück liegt der Gewinn bei etwa 200000 Euro.

Skizze:

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