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Das Profil eines Geländelängsschnitts wird beschrieben durch den Graphen der Funktion f mit f(x) = 0,25x^5 - 1,5x^4 + 11x^2 - 5x- 10 (x in km; -3 < x < 4; f(x) in m über bzw. unter dem Meeresspiegel).

Im linken Teil des Profils befindet sich eine Insel, rechts ist Festland.

Wie lang und wie hoch ist die Insel im Profil?

Wie tief ist das Meer zwischen Insel und Festland?

von

~plot~ 0,25x^5-1,5x^4+11x^2-5x-10;[[20]] ~plot~

Dort habe ich bereits geguckt, jedoch hatten wir noch nicht das Newtonverfahren.


Grundsätzlich würde ich über Punkte gehen - aber wie kann ich diese denn ohne Kenntnisse errechnen?

Meiner Meinung nach gar nicht, denn wie Mathecoach schon schrieb:

Ungünstigerweise gibt es keine ganzzahligen Nullstellen sodass wir ein Näherungsverfahren wie das Newtonverfahren benutzen müssen

blob.png

1 Antwort

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Zunächst mache ich eine grobe Skizze.

Rechnung folgt danach.

f(x) = 0.25·x^5 - 1.5·x^4 + 11·x^2 - 5·x - 10 mit x in km und f(x) in m; -3 < x < 4
f '(x) = 
1.25·x^4 - 6·x^3 + 22·x - 5

Im linken teil des profils befindet sich eine insel, rechts ist festland. 

wie lang und wie hoch ist die insel im profil?

Nullstellen f(x) = 0

Ungünstigerweise gibt es keine ganzzahligen Nullstellen sodass wir ein Näherungsverfahren wie das Newtonverfahren benutzen müssen

xn+1 = xn - (0.25·xn^5 - 1.5·xn^4 + 11·xn^2 - 5·xn - 10)/(1.25·xn^4 - 6·xn^3 + 22·xn - 5)

x = -2.329831240
x = -0.7818562489
x = 1.389943003

-0.7818562489 - (-2.329831240) = 1.548 km ist die Insel lang

Extremstelle f '(x) = 0

1.25·x^4 - 6·x^3 + 22·x - 5 = 0

Auch hier haben wir nicht mehr Glück und finden auch keine Ganzzahligen Nullstellen. Die Nullstellen sind mit dem Newtonverfahren

x = -1.743623468 ; y = 14.26707796
x = 0.2304502776 ; y = -10.57213884
x = 3.060170837 ; y = 13.25700140
x = 3.253002353 ; y = 13.23557948

Die Insel ist 14.27 m hoch.

wie tief ist das meer zwischen insel und festland?

Das Meer ist gerade mal 10.57 m tief.

von 420 k 🚀

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