Wie kann ich die Nullstellen dieser Funktion mithilfe der quadratischen Ergänzung berechnen?

Question

wie berechnet man die Nullstellen der folgenden Funktion mithilfe der quadratischen Ergänzung?

f(x) = -4x² + 12x + 16

Über Antworten würde ich mich sehr freuen.

MfG

Alex

Answer 1

Hi Alex,

x²+px+q=0

x²+px+(p/2)²-(p/2)²+q  Quadratische Ergänzung

-4x² + 12x + 16  |:(-4)

x²-3x-4=0

x²-3x+((-3)/2)²-((-3)/2)²-4

x²-3x+2,25-2,25-4

(x-1,5)²-2,25-4

(x-1,5)²-6,25 =0 |+6,25

(x-1,5)²=6,25 |√

x-1,5=±√6,25

x₁-1,5=2,5  |+1,5

x₁=4

x₂-1,5=-2,5 |+1,5

x₂= -1

→ N₁(4|0), N₂(-1|0)

Alles klar?

Comments

Hi,

vielen Dank, genau das war meine erste Lösung. Doch nun kommt der Haken: das Lösungsheft gibt als
Lösung x₁ = 4,75 und x₂ = 0,25 an. Ich nehme an, dass es sich um einen Fehler im Lösungsheft handelt, da dies ab und zu bereits vorgekommen ist.

MfG
Alex

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Hi,

freut mich, dass du selbiges hast :)

Hmm also ich habe es auch mit Wolframalpha kontrolliert und auch noch der Funktionsgraph

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-4x%C2%B2+%2B+12x+%2B+16+&dataset=

ich würde sagen, dass es sich um ein Fehler im Buch handelt :)

Gruß

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Tag emre und Alex,

es gibt eine einfache Möglichkeit um zu sehen ob ein
Ergebnis stimmt. Die sogenannte PROBE.
Man setzt das Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein
und überprüft dann ob die Ausgangsgleichung zu
einer wahren Aussage wird

-4x² + 12x + 16= 0

x = 4
-4*4² + 12*4 + 16= 0
-64 + 48 + 16 = 0  | stimmt

x =-1
-4*(-1)² + 12*(-1) + 16= 0
-4 - 12 + 16 = 0  | stimmt

x = 4.75
-4*4.75² + 12*4.75 + 16= 0
-90.25 + 57 + 16 = 0  | falsch

x = 0.25
-4*0.25² + 12*0.25 + 16= 0
-0.25 + 3 + 16 = 0  | falsch

@emre
ein paar kleine Hinweise
Wenn es mathematisch richtig sein soll dann muß
rechts immer " = 0 " stehen

x²-3x+((-3)/2)²-((-3)/2)²-4 = 0
x² - 3x + 2,25 - 2,25 - 4  = 0 | ich lasse (p/2)^2 stehen, das ist übersichtlicher

x² - 3x + 1.5^2 - 2,25 - 4  = 0
oder so
( x² - 3x + 1.5^2 ) - 2,25 - 4  = 0

(x-1,5)² -2,25 - 4 = 0

Aber ansonsten alles tiptop.

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@Georg:

Stimmt^^ auf die Idee mit der Probe bin ich nicht gekommen^^ war wohl schon zu müde :)

Und auch danke für den Hinweis mit der =0 :)

wenn sonst alles tiptop ist, freuts mich :)

Answer 2

\(f(x) = -4x² + 12x + 16\)

\( -4x² + 12x + 16=0|:(-4)\)

\( x² -3x -4=0\)

\( x² -3x =4\)

\( (x -1,5)^2=4+1,5^2=6,25|\sqrt{~~~}\)

1.)\( x -1,5=2,5\)

\( x₁=4\)

2.)\( x -1,5=-2,5\)

\( x₂=-1\)

Comments

Vieta läge hier nahe. Die Zahlen laden dazu ein.

x^2-3x-4 =0

(x-4)(x+1) =0

Vieta scheint ganz auszusterben an Schulen, wohl auch weil

er nur begrenzt anwendbar ist.