Bestimme alle reellen Zahlen x die die Gleichung erfüllen: √(x^2 + 2x + 1) + 2√(...) = √(...) + 3

Question

Man bestimme alle reellen Zahlen \( x, \) die die Gleichung

$$ \sqrt{x^{2}+2 x+1}+2 \sqrt{x^{2}+6 x+9}=\sqrt{x^{2}+4 x+4}+3 $$

erfüllen.

Comments

Hinweis: Binomische Formel.

Answer 1

√ ( x^2 + 2x + 1 )  + 2 *√ ( x^2 + 6x + 9 ) = √ ( x^2 + 4x + 4 ) + 3
In den Wurzeln stehen binomische Ausdrücke
√ ( x + 1 )^2   + 2 *√ ( x + 3 )^2  = √ ( x + 2 )^2 + 3
quadrieren und Wurzelziehen heben sich auf.
Die Ausdrücke müssen allerdings in Betragszeichen
gesetzt werden. Beispiel √ (-4)^2 = √ 16 = 4 oder halt | -4|.
| x + 1 |  + 2 * |  x + 3 |  = | x + 2 | + 3

Es müssen Fallunterscheidungen getroffen werden

falls x ≥ -1 ist gilt ( alle Betragszeichen können entfallen )
( x + 1 ) + 2 * ( x + 3 ) = ( x + 2 ) + 3
x +1 + 2x + 6 = x + 2 + 3
2x = -2  und ( x ≥ -1 )  Lösung liegt im angenommenen Bereich
x = -1

falls x ≤ -3 ist gilt ( mit (-1) multiplizieren
dann können alle Betragszeichen können entfallen )
( x + 1 )*(-1)  +  2*( x + 3 )*(-1) = ( x + 2 )(*-1) + 3
-x - 1   -2x - 6  = -x - 2  + 3
-2x = 8
x = -4
x = -4  und ( x ≤ -3 )  Eingangsvoraussetzung
x = -4

Es gibt noch die Lösung x = -2,
aber ich habe jetzt keine Lust mehr.
Ich hoffe die Rechnungen haben dich weiter gebracht.