Anfangswertproblem : (x+2)*y'-2y=(x+2)3 , y(0)=2

Question

bei der Lösung hängt es irgendwie :Lösen Sie das Anfangswertproblem :

ich komme leider nicht auf das richtige Endergebnis und würde gern mit eurer Hilfe den Fehler eliminieren.

Meine Aufgabe:

Lösen Sie das Anfangswertproblem!

(x+2)*y'-2y=(x+2)³    ,   y(0)=2

mein Ansatz: 

(x+2)*y'-2y = (x+2)³    

y'-2y = (x+2)³ / (x+2)

y'-2y = (x+2)²       

y'-2y = x²+4x+4     // ist dieser Ansatz so erstmal ok?   

Comments

der erste Schritt ist falsch. Auf der linken Seite steht eine Differenz, kein Produkt.

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Danke erstmal für den Hinweis. Leider hängt es jetzt an dieser Stelle. Wie muss ich hier vorgehen?

Trennung der Variablen?
Grüße Sebastian

Answer 1

ich versuche mich mal ;).

(x+2)*y'-2y=(x+2)³   |:(x+2)³

y'/(x+2)² - 2y/(x+2)³ = 1

Nun kommt die Regel: gf' + fg' = (fg)' zum Einsatz (Produktregel),

denn (1/(x+2)²)' = -2/(x+2)³

(y/(x+2)²)' = 1            |integrieren

y/(x+2)² = x+c           |*(x+2)²

y = (x+2)²(x+c) = (x²+4x+4)(x+c) = x³+4x²+4x+(x+2)²*c

Das Anfangswert überlasse ich Dir. Wenns da Probleme gibt, nochmals melden ;).

Grüße

Comments

Das sollte helfen :-) Grüße Sebastian

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ich versuche gerade diese Aufgabe nachzuvollziehen, aber ich kann dem nicht ganz folgen ;-)

Es klemmt ab " Nun kommt die Regel: gf' + fg' = (fg)' zum Einsatz (Produktregel),"

Kannst Du das mal ausführlicher darstellen? Ich komme irgendwie mit der Schreibweise der abgeleiteten Klammer nich klar.

Danke und Grüße

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Diese Klammerschreibweise ist nichts anderes als der Hinweis, dass das innere noch abgeleitet werden muss. Das  habe ich mir aber gespart, da ohnehin gleich wieder integriert wird ;).

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Ok, das leuchtet ein, aber ich verstehe es irgendwie trotzdem nicht. Könntest Du ab Beginn der Produktregel nochmal ausführlich darstellen was zu tun ist? Das wäre super :-)

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Eigentlich steht es schon direkt dran. Ausführlicher geht nicht viel mehr. Vielleicht farbig noch ein paar Kommentare:

(x+2)*y'-2y=(x+2)³   |:(x+2)³

y'*1/(x+2)² - 2y/(x+2)³ = 1

Nun kommt die Regel: gf' + fg' = (fg)' zum Einsatz (Produktregel),

denn (1/(x+2)²)' = -2/(x+2)³ 

(y/(x+2)²)' = 1            |integrieren

y/(x+2)² = x+c           |*(x+2)²

y = (x+2)²(x+c) = (x²+4x+4)(x+c) = x³+4x²+4x+(x+2)²*c

Gut, sind keine Kommentare, aber trotzdem Farbe im Spiel. So klar? ;)

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Ich glaub, jetzt hab ichs begriffen :-) kannst Du mir noch mitteilen, was das für ein Ty Differentialgl. ist und wie sich dieses Lösungsverfahren genau nennt?

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Uff, da bin ich nicht so bewandert drin. Mir ist eigentlich egal, welchen Namen sie trägt, solange ich sie lösen kann :D.

Müsste aber eine "lineare DGL erster Ordnung" sein.

Lösungsverfahren? Keine Ahnung ob das einen speziellen Namen hat. Anwenden der "Produktregel"?^^

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Ok, dann nehm ich das mal so auf ;-) Besten Dank :-)