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Ich brauche Hilfe bei dem Lösungweg dieser Gleichung 3. Grades: x^3-6x^2+11x-6=0

Also es kommen 3 Lösungen raus und eine weiß ich: x= 2 aber den Rest bekomm ich nicht raus...

Ich möchte es mit der Cardanischen Formel gelöst haben wenn es geht.

Danke schon mal im Voraus (:
von

Gleichung 3. Grades lösen mit Polynomdivision und pq-Formel / Mathe-Quickie-001

von https://www.matheretter.de/

Viel Spaß beim Lernen =)


Tipp: Nutze den Gleichungslöser für Gleichungen mit x^3.

Ergebnisse für deine Gleichung:

x1 = 3
x2 = 1
x3 = 2

Hilft auch wunderbar zur Kontrolle eigener Berechnungen :)

2 Antworten

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Erstmal ist das eine Gleichung 3. Grades.

Wenn man eine Lösung kannt, macht man normal eine Polynomdivision

(x^3  - 6x^2  + 11x  - 6) : (x - 2)  =  x^2 - 4x + 3   
x^3  - 2x^2             
———————
- 4x^2  + 11x  - 6     
- 4x^2  +  8x          
———————
3x  - 6                 
3x  - 6                 
———————                       
0

Dann löst du das Restpolynom mit der pq-Formel

x^2 - 4x + 3 = 0

x = 1 und x = 3

Nun hast Du alle 3 Lösungen

x=1 oder x=2 oder x=3
von 384 k 🚀

Kurz und übersichtlich dargestellt und damit erklärt!!

+1 Daumen

Hallo

Hier ein Lösungsansatz mit den Cardanischen oder Cardanoschen Formeln.
Ich denke die Vorgehensweise von Der_Mathecoach ist die einfachere und schnellere, vorallem bei dieser Aufgabe.
Im Folgenden wird nur der Ansatz für den Fall gezeigt, dass die Diskriminante D<0 ist. Für die Fälle D=0 und D>0 sehen die Cardanischen Formeln anders aus. Der Lösungsansatz ist der Formelsammlung "Formeln + Hilfen zur höheren Mathematik" von G. Merziger, erschienen im Binomi Verlag, entnommen.

Cardanische Formel

Cardanische Formel

von 3,7 k
Das kann aber nicht stimmen da a=1, b=-6, c=11, d=-6

a,b,c,d sind die Koeffizienten der von dir angegeben Funktionsgleichung:

1x3 -6x2 + 11x -6=0

Bitte sieh Dir "1. Vergleich von Normalform mit Gleichung" an. Ich führe hier einen Koeffizientenvergleich durch.

cfa

d kommt in meiner Gleichung nicht vor. Ich gehe also davon aus, dass das Polynom, sollte es die von Dir vorgeschlagene Form haben (ich verwende im jetzt folgenden Beispiel andere Buchstaben um Verwechslungen zu vermeiden) ux^3+vx^2+wx+t=0, vorher auf u normiert wird. Es muss gelten u=/=0 (u ungleich 0) da es sich sonst um keine kubische Gleichung mehr handelt. Dann teile ich beide Seiten der Gleichung durch u, was als Normieren bezeichnet wird. Das sieht dann so aus:
x^3+(v/u)*x^2+(w/u)*x+(t/u)=0.
Mein a ist also (v/u) usw. Ich habe diese Normierung nicht durchgeführt, da das gegebene Polynom bereits normiert ist.

Abgesehen davon Stimmen meine Ergebnisse mit den von Der_Mathecoach überein. Falls ich dennoch irgendwo einen Fehler gemacht haben sollte, bitte ich um Berichtigung.

Also ich sehe auf Anhieb keinen Fehler :) Und für die Mühe bekommst du von mir auch einen Daumen. Aber wie wir auch erkannt haben sollte man wenn man eine Gleichung dritten Grades hat und schon eine ganzzahlige Lösung vorgegeben ist lieber eine Polynomdivision bzw. das Horner Schema anwenden. Das Horner Schema ist einfacher, ist aber als Zeichnung ohne Erklärung nicht so gut darzustellen. Außerdem ist die Polynomdivision universeller einsetzbar.
Danke. Ich habe die Cardanische Formel nur verwendet, da der Fragensteller darum gebeten hat. Es war als Ergänzung zu Deiner Antwort gedacht.

Ich kann mich auch nicht daran erinnern die Cardanischen Forlmeln jemals gebraucht zu haben. (Vielleicht ein-, zweimal höchstens). :)
Meist braucht man ja auch keine exakte Lösung, sodass man mit anderen Verfahren wie dem Newtonverfahren oder der Intervallteilung schneller zu einer Lösung kommt.

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