Produktzeichen. Formel vereinfachen

Question

ich habe schon lang nichts mehr mit Mathe zu tun gehabt. Nun muss ich eine Produktformel ableiten. Dazu muss ich sie erstmal vereinfachen. Ein Grundproblem ist dabei, dass ich folgenden Ausdruck nicht verstehe:

$$ \prod_{i=1}^n {e}^{x_i}= {e}^{\frac{1}{2}n(n+1)} $$

Kann mir einer erklären, warum dieser Ausdruck so gilt. Habe ein grundsätzliches Verständnisproblem, weil ich auch nicht mehr weiß worin der Unterschied zu folgenden Ausdruck liegt:

$$ \prod_{i=1}^\infty {e}^{x_i}= \infty $$

Answer 1

Deine erste Gleichung gilt nur für x_i = i, also x₁ = 1, x₂ = 2, usw. Dann ist mit Gaußscher Summenformel (https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel)

$$ \prod \limits_{i=1}^{n}e^i = e^{1+2+...+n} = e^{\frac{1}{2}n(n+1)} .$$

Beim zweiten Ausdruck wird unendlich oft multipliziert, das ist der Unterschied. Dieser gilt allerdings auch nicht uneingeschränkt so wie er da steht. Gegenbeispiel: Wenn x_i < 0 gilt, ist das Ergebnis 0 und nicht unendlich. Deins gilt, bin mir da aber sehr unsicher, nur wenn x_i > 0 gilt.

Comments

hmm stimmt, du hast recht. mit den Potenzgesetzen: $$({x}^{m}\cdot{x}^{n}={x}^{m+n})$$ kann man das Produkt in eine Summenformel vereinfachen, und nimmt dann einfach den Gauß..

$$ \prod_{i=1}^n {e}^{x_i}= {e}^{\frac{1}{2}n(n+1)} = {e}^{\sum _{i=1}^{n}{x_i}}$$

Danke für die Hilfe! stand voll auf dem Schlauch..

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Bitte unbedingt beachten was Yukawah gesagt hat !

Deine erste Gleichung gilt nur für x_i = i, also x₁ = 1, x₂ = 2, usw. !!!!

Sie so allgemeingültig aufzuschreiben ist großer unfug. Dann sollte man das xi lieber durch ein i ersetzen.

Wie lautet den deine original Produktformel die du ableiten sollst?