Zeigen Sie: f hat (mindestens) zwei Nullstellen im Intervall (-3,3] und f(x)=x sin(x)-√x+3 mindestens einen Fixpunkt

Question

Bitte geben Sie bei jeder Autgabe einen Rechenweg bzw. eine Begründung für ihre Lösung an.

Aufgabe 1:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x)=x^{4}+x^{3}-\sqrt{x^{2}+2}-4 x^{2}-4 x+1 \). Zeigen Sie: \( f \) hat (mindestens) zwei Nullstellen im Intervall \( (-3,3] \). Welchen Satz benutzen Sie? Warum dürfen Sie ihn benutzen?

Aufgabe 2:

Zeigen Sie, dass \( f(x)=x \sin (x)-\sqrt{x}+3 \) im Intervall \( [0, \pi] \) mindestens einen Fixpunkt besitzt, d. h. ein \( x \in[0, \pi \) existiert mit \( f(x)=x \). Hinweis: Versuchen Sie nicht, den Fixpunkt auszurechnen.

Aufgabe 3:

Gegeben sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, c \in \mathbb{R} \) mit
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-x}{x^{3}-x^{2}+x-1} & \text { falls } x \neq 1 \\ c & \text { falls } x=1 \end{array}\right. \)

Wie muss \( c \in \mathbb{R} \) gewählt werden, damit \( f \) in \( x=1 \) stetig ist?

Answer 1

zu 2.

f(x) = x·SIN(x) - √x + 3

f(0) = 3

f(pi) = 3 - √pi = 1.227546149

Wir haben einen Wert über der Hauptdiagonalen und einen darunter. Daher muss die Hauptdiagonale wenigstens einmal geschnitten werden.

zu 3.

Wir suchen eine stetige Ergänzung

fs(x) = (x^2 - x) / (x^3 - x^2 + x - 1) = x·(x - 1) / (x - 1)·(x^2 + 1) = x / (x^2 + 1)

fs(1) = 1/2

c muss also 1/2 sein.