Zeigen Sie: f hat (mindestens) zwei Nullstellen im Intervall (-3,3] und f(x)=x sin(x)-√x+3 mindestens einen Fixpunkt

Question

Bitte geben Sie bei jeder Autgabe einen Rechenweg bzw. eine Begründung für ihre Lösung an.

Aufgabe 1:

Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben durch $f(x)=x^{4}+x^{3}-\sqrt{x^{2}+2}-4 x^{2}-4 x+1$. Zeigen Sie: $f$ hat (mindestens) zwei Nullstellen im Intervall $(-3,3]$. Welchen Satz benutzen Sie? Warum dürfen Sie ihn benutzen?

Aufgabe 2:

Zeigen Sie, dass $f(x)=x \sin (x)-\sqrt{x}+3$ im Intervall $[0, \pi]$ mindestens einen Fixpunkt besitzt, d. h. ein $x \in[0, \pi$ existiert mit $f(x)=x$. Hinweis: Versuchen Sie nicht, den Fixpunkt auszurechnen.

Aufgabe 3:

Gegeben sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}$ mit
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-x}{x^{3}-x^{2}+x-1} & \text { falls } x \neq 1 \\ c & \text { falls } x=1 \end{array}\right.$

Wie muss $c \in \mathbb{R}$ gewählt werden, damit $f$ in $x=1$ stetig ist?

Answer 1

zu 2.

f(x) = x·SIN(x) - √x + 3

f(0) = 3

f(pi) = 3 - √pi = 1.227546149

Wir haben einen Wert über der Hauptdiagonalen und einen darunter. Daher muss die Hauptdiagonale wenigstens einmal geschnitten werden.

zu 3.

Wir suchen eine stetige Ergänzung

fs(x) = (x² - x) / (x³ - x² + x - 1) = x·(x - 1) / (x - 1)·(x² + 1) = x / (x² + 1)

fs(1) = 1/2

c muss also 1/2 sein.