Logarithmen und binomische Formeln?

Question

es geht um diese Aufgabe:

$$ 3\log _{ 2 }{ (x²-4)-\log _{ 2 }{ (x-2)²-2\log _{ 2 }{ (x+2)=5 }  }  }  $$

Die Aufgabenstellung lautet: Bestimmen sie die Definitions und Lösungsmenge der Gleichung.

Ich glaube hier die 3 binomischen Formeln zu sehen, also dachte ich auch gleich mal an kürzen.

Aber irgendwie weiß ich nicht wie das funktionieren soll, selbst wenn ich die bin. Formeln umschreibe.

Sollte ich hier log a -log b -log c = log [ a/ (b*c)]    anwenden??

Answer 1

Die zweite Idee war besser.
Aber erst mal die Faktoren vor dem log als Exponenten hereinziehen
log₂( (x^2 -4)^3 ) -  log₂((x^2 -4)^2 )  -  log₂( (x+2)^2 ) = 5

Dann deine Formel   log₂( (x^2 -4)^3 ) / ((x^2 -4)^2  (x+2)^2 )  )   = 5
Mit (x^2 -4)^2 kürzen gibt
                                          log₂( (x^2 -4) /  (x+2)^2 )    = 5
gibt                          (x^2 -4) /  (x+2)^2    =   32                   denn 2 hoch 5 ist 32
malnehmen mit dem Nenner
                                           x^2 -4     =  (x+2)^2   * 32    
gibt eine quadratische Gleichung mit x=-2 oder x=-66/31

Aber Definitionsmenge (Log nicht von0 oder negativ möglich) schließt -2 aus.

Comments

log₂( (x² -4)³ ) -  log₂((x² -4)² )  -  log₂( (x+2)² ) = 5 

Woher kommt denn hier das x² - 4?? :/

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Woher kommt der Summand \( log_2(x^2-4)^2 \)

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Oh, da habe ich wohl nicht aufgepasst.

Es muss natürlich heißen:

log₂( (x² -4)³ ) -  log₂((x -2)² )  -  log₂( (x+2)² ) = 5

Dann ist es sogar noch einfacher, denn mit

log a -log b -log c = log [ a/ (b*c)]

gibt das

log₂( (x² -4)³  /   (x -2)² (x+2)² ) = 5

Wenn du den Nenner ausrechnest gibt das im Nenner

((x-2)(x+2))^2 = (x^2-4)^2 

Und im Zähler steht ja das Ganze mit hoch 3.

Deshalb kann man kürzen und der Nenner ist weg

und es bleibt nur log₂ (x² -4)  = 5übrig

Also   x^2 - 4 = 32

3log2(x²−4)−log2(x−2)²−2log2(x+2)=5

Answer 2

Nach anwenden der Regeln für den Logarithmus erhältst Du als Gleichung

\( log_2(x^2-4)=5 \) also \( x=\pm6 \)

Ausschließen musst Du die Werte \( \pm2 \) da dort der Logarithmus nicht definiert ist.

Comments

Welche Regel hast du verwendet? Diese?

log a -log b -log c = log [ a/ (b*c)]

Wie konnte dann der Nenner verschwinden?