Radioaktive Substanz zerfällt nach Zerfallsgesetz. Berechnen Sie die Zerfallskonstante λ. (natürliche Logarithmen)

Question

Aufgabe radioaktiver Zerfall:

Eine radioaktive Substanz zerfällt nach dem Zerfallsgesetz:

$n(t) = n_{0} e^{ \lambda t}$

(a) Das Element Darmstadtium ${ }_{110}^{282}$ Ds besitzt eine Halbwertszeit von $1.1 \mathrm{~min}$. Berechnen Sie die Zerfallskonstante $\lambda$ in $\left[s^{-1}\right]$.

(b) Pflanzliche (und tierische) Zellen nehmen neben normalem Kohlenstoff auch radioaktiven Kohlenstoff ${ }^{14} \mathrm{C}$ auf. Wenn der Organismus stirbt, wird kein weiterer Kohlenstoff aufgenommen und der ${ }^{14} \mathrm{C}$-Gehalt sinkt jahrlich um etwa $0.0121 \%$ durch Zerfall. Da der Anteil an radioaktivem Kohlenstoff seit Jahrtausenden konstant ist, ist es möglich, für Hözer und andere Materialien pflanzlichen Ursprungs Altersbestimmungen durch Messung des ${ }^{14} \mathrm{C}$-Gehaltes vorzunehmen ("Radiokarbonmethode").

In einem Holzspeer wurden nach Untersuchungen noch $30.7 \%$ des Anteils an Kohlenstoff ${ }^{14} \mathrm{C}$ gemessen, der in lebendem Gewebe vorhanden ist. Bestimmen Sie das Alter des Holzspeeres in Jahren.

Hinweis: Beachten Sie die Einheiten (s, min, h, d, a).

Answer 1

1.1 min = 66 s

0.5^t/66 = e^{- 0.01050223·t}

ln(0.5)/66 = - 0.01050223

(1 - 0.000121)^t = 0.307

t = 9759 Jahre

Comments

Vielen Dank und Wahnsinn was für eine Geschwindigkeit! Wie hast du das jetzt hergeleitet?...ich darf leider keinen Taschenrechner nutzen...

---

Ich denke schon das man dafür einen Taschenrechner verwenden darf. Also ich bin sehr schlecht im Kopfrechnen und würde sowas keinem im Kopf zumuten wollen.

Answer 2

Die Lösung einmal Schrittweise

t = 66 s

n ( t ) = n ( 0 ) * e^{-λ*t}

Halbwertzeit = nur noch die Hälfte der Anfangsmenge ist vorhanden.
Das bedeutet : n ( t ) / n ( 0 ) = 0.5
0.5 = e^{-λ*t}
0.5 = e^{-λ*66}  | ln ( )
-λ*66 = ln( 0.5 )
-λ = -0.0105
λ = 0.0105

Sinkrate ( ähnlich dem Verzinsungsfaktor )
100 % - 0.0121 % = 99.9879 %
0.999879
0.307 = 0.999879^t
t * ln ( 0.999879 ) = ln( 0.307 )
t = 9759 Jahre