Beweise oder widerlege. Wenn f:D(f)->W(f) eine Umkehrfunktion f^{-1}:W(f)->D(f) besitzt, so ist f streng monoton.

Question

Aufgabe:

a) Beweisen Sie: Die Umkehrfunktion einer streng monoton wachsenden Funktion ist ebenfalls streng monoton wachsend.

b) Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn die Funktion \( f: \mathbb{D}(f) \rightarrow W(f) \) eine Umkehrfunktion \( f^{-1}: W(f) \rightarrow \mathbb{D}(f) \) besitzt, so ist \( f \) streng monoton.

Comments

Hast du noch eine Voraussetzung, dass f stetig ist. D und W abgeschlossene Intervalle sein sollen. Oder so?

Anders gefragt: Wie habt ihr Monotonie bei Definitionslücken ganz genau definiert?

Schreib die Definitionen genau hin. Brauchst du für einen Beweis ebenso, wie für die Idee für ein allfälliges Gegenbeispiel.

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So etwas stand da n8cht.

Es gab dir teilfaufgabe a) und b) und das ist b.

Bri a) ging es um fubktion f und seine umkehrfunktion das sie inmer streng monotoj sind.

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Wenn Definitionslücken erlaubt sind ist schon der erste Teil falsch.

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A) wurde hier beantwortet und es war richtig.

f(x)=e^{x} f^{-1}(x)=ln(x) f^{-1}(x)'=1/x.

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Das ware alles stetige Funktionen, bei denen die Behauptung gilt.

Bei f(x) = 1/x musste man ja wohl die Definitionslücke genauer ansehen.

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Zitat:

"Anders gefragt: Wie habt ihr Monotonie bei Definitionslücken ganz genau definiert?

Schreib die Definitionen genau hin. Brauchst du für einen Beweis ebenso, wie für die Idee für ein allfälliges Gegenbeispiel."

mathef hat nun ein Gegenbeispiel konstruiert. Damit ist die Behauptung widerlegt.

Es sei denn du findest hast irgendeinen Grund, warum mathef's f an der Stelle x=1 streng monoton sein soll.

https://de.wikipedia.org/wiki/Monotonie_(Mathematik)#Definitionen

Answer 1

Zeichne dir mal einen Funktionsgraphen, der aus aus zwei Strecken besteht
von (0/0) nach (1/1)               und     von (2/1) nach (1/2)

Die zugehörige Funktion ist dann z.B.

x      für   x aus [0;1[

f(x)   =

3-x     für   x aus [1;2]

Ist offenbar nicht monoton, da etwa

f(o,5) > f(0)   aber f(1,5) < f(1)

hat aber sich selbst als Umkehrfunktion.

Answer 2

Vorbemerkung : Es ist manchmal besser der Fragesteller stellt die Orginalfrage
hier ein. Sonst besteht die Gefahr das aneinander vorbeigeredet wird..

Nur zu 3a.)
Ich habe eine streng montoton wachsende Funktion z.B.
f ( x ) = x^2 im 1.Quadranten. ( Parabel, bitte vorstellen )

für dx ist positiv gilt
x + dx > x
f ( x + dx ) > f ( x )
Beide Zuwächse dx und dy sind positiv
x ist die unabhängige Variable, y  die abhängige Variable.

Jetzt gehe ich von der y-Achse in die Parabelkurve und lese x ab.
Die Parabelkurve entspricht der nunmehr der Umkehrfunktion.
Wähle ich eine 2.Punkt  mit y + dy ist dx auch positiv.
Die Umkehrfunktion ist somit auch streng monoton wachsend.

Ich zeichne jetzt noch ein Bild.

Comments

Nur ein Fülltext.

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georgborn: Du hast als Beispiel eine stetig differenzierbare Funktion genommen.

Allgemein kann man hier wohl Stetigkeit und Differenzierbarkeit nicht voraussetzen.