Zeige: Polynome n-ten Grades sind nicht periodisch. (n>0)

Question

Gegeben sei ein reelles Polynom \( n \)-ten Grades (d. h. \( a_{n} \neq 0 \) )

\( f_{n}(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0} \)

Kann \( f_{n} \) für \( n>0 \) periodisch sein? Wenn ja, wie lautet die primitive Periode? Beweisen Sie Ihre Vermutung.

Answer 1

Für n ungerade ist der Beweis einfach:

f(x) hat mindestens eine und maximal n verschiedene Nullstellen.

D.h. der Funktionswert 0 kommt vor. Bei periodischen Funktionen muss jeder Funktionswert unendlich oft vorkommen. Das ist hier mit der oberen Grenze von n Nullstellen sicher nicht der Fall. D.h. Polynome von ungeradem Grad sind sicher nicht periodisch.

Für n gerade:

1.a) Periodische Funktionen sind immer noch periodisch, wenn man eine Konstante addiert.

1.b) Nichtperiodische Funktionen sind immer noch periodisch, wenn man eine Konstante addiert.

Betrachte

g(x) = f(x) - ao

Also

g(x) =  an x^n + an-1 x^{n-1} + ........ + a1 x.

g(x) hat die Nullstelle x=0. Da aber maximal n Nullstellen vorliegen können, kommt 0 nicht unendlich oft vor.

g(x) ist also nicht periodisch.

Wegen 1.b) ist auch f(x) nicht periodisch.

Comments

Hm... das könnte einfacher gehen:

Betrachte statt f_n = 0 einfach die Gleichung f_n -a_0 = 0.

Sie hat für jedes n > 0 mindestens eine und höchstens n
Lösungen, so dass f_n nicht periodisch sein kann.

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Danke für die Verdeutlichung. Hab auch bemerkt, dass ich beim 2. Fall gar nicht mehr brauche, dass n nun gerade ist. D.h. der Fall 'ungerade' war eigentlich nur eine Aufwärmübung.

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Ja, aber Du hast gut beschrieben, wie man drauf kommen kann!