Restklassen, Gleichungen: Lösungsmenge finden

Question

(b) Finde für folgende Werte von \( n \) jeweils alle Elemente \( x \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \), die der Gleichung genügen. Begründe, warum es keine weiteren gibt. (Beachte, dass die Lösungsmenge auch leer sein kann.)
$$ \begin{array}{l} {\bullet n=5,3 x=1} \\ {\bullet n=7, x^{2}=2} \\ {\bullet n=11, x^{2}+1=0} \\ {\bullet n=9, x^{3}=0} \\ {\bullet n=12,2 x=4} \\ {\bullet n=12,2 x-3=0} \end{array} $$

Da bei der 1., 2., 3. und 6. Gleichung x keine ganze Zahl ist, ist dort doch jeweils die Lösungsmenge leer? Bin nur etwas verwirrt, weil die Lösungsmenge dann so häufig leer wäre :D

Answer 1

a) n=5   3x=1     Du musst schon alle Restklassen durchprobieren, also

3*0=1 (f)

3*1=1 (f)

3*2=1 (wahr!!!, denn 3*2=6 aber modulo 5 ist das gleich 1)

3*3=1 (f), denn 9 ist in der Restklasse von 4)

3*4=1 (f)   denn 12 wäre ja gleich 2

Hier also Lösungmenge nur aus 2 bestehend.

vielleicht kommst du so alleine weiter.

Comments

die 7, 12,... sind aber ja auch in der lösungsmenge oder? also quasi L={x € Z | x = 2+5x für x € Z}

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Im Restklassenkörper modulo 5 gibt es ja keinen Unterschied zwischen

2 und 7 und 12, die sind alle in der gleichen Klasse und

diese wird i. allg. mit dem kleinsten Vertreter bezeichnet

also einfach mit 5 (manche schreiben dann auch noch einen

Querstrich über die 5 um anzudeuten, dass die ganze

Klasse geneint ist.

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Reicht es dann hinzuschreiben L=2^¯ .Ich soll ja alle Elemente angeben.