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Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren: \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -7\end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 3 \\ 5\end{array}\right), \quad \overrightarrow{e_{1}}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \).

a) Gibt es Vektoren \( \vec{c} \in \mathbb{R}^{3} \) so, dass \( \vec{c} \) und \( \overrightarrow{e_{1}} \) orthogonal und die Vektoren \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \)
linear abhängig sind? Bestimmen Sie gegebenenfalls alle Vektoren \( \vec{c} \in \mathbb{R}^{3} \) mit diesen Eigenschaften.

b) Gibt es Vektoren \( \vec{c} \in \mathbb{R}^{3} \) so, dass \( \vec{c} \) parallel zur \( (y, z) \) -Ebene ist und die Vektoren \( \vec{c} \), \( \vec{a}, \vec{b} \) einen Spat mit dem Volumen \( V=12 \) VE aufspannen? Bestimmen Sie gegebenenfalls alle Vektoren \( \vec{c} \in \mathbb{R}^{3} \) mit diesen Eigenschaften.

von

1 Antwort

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c = Nullvektor würde vielleicht alle Bedinungen erfüllen, ist aber als Spezialfall wohl nicht wirklich interessant.

Orthogonalitätsbedingung:

Skalarprodukt von c(c1, c2, c3) und e(1, 0, 0) muss 0 sein

Also c1*1 = c1 = 0

Somit:

c(0, c2, c3)

Jetzt würde ich den Ansatz

x*a + y*b + c =0

Komponentenweise notieren

Da bekommt man aus der ersten Zeile die Bedingung x - 2y = 0.

Also x = 2y einsetzen und es bleibt in den folgenden beiden Gleichungen nur noch der Parameter y und die beiden Komponenten c2 und c3. Da nur die Richtung von c wichtig ist, kannst du zur Vereinfachung der Rechnung c2 oder c3 auf 1 normieren.

Dann y aus dem System eliminieren und die fehlende Komponente von c bestimmen.

Zum Schluss Lambda mal c  (Lambda reell) als alle Vektoren, die diese Bedingungen erfüllen angeben.

Versuch das mal!

 

von 162 k 🚀
Bei der Auflösung von:  x*a + y*b + c =0  , bekomme ich für y einmal -1/3 und einmal 1/9 raus, das kann doch nicht stimmen oder?

Und weshalb kann ich für c2 und c3 einfach die 1 annehmen?
Nur für c2 oder c3 kannst du 1 nehmen.- Nicht für beide!

Orthogonalität und lineare Abhängigkeit hat nur mit der Richtung zu tun (vgl. oben). Deshalb kannst du den gefundenen Vektor dann noch mit einer beliebigen reellen Zahl multiplizieren.

3y = c2

-7x + 5y = c3  -----> -14y + 5y = c3  ------> -9y = c3

Wähle c2 = 1

y = 1/3

Einsetzen 

-9*(1/3) = -3 = c3

{Alle möglichen Vektoren c } = { λ (0| 1| 3}, λ ∈ R} 

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