wenn z existiert, sodass xz=y für alle x,y∈X, dann insbesondere für x=y. Es gilt dann, dass z gemäß xz=zx=x für alle x∈X existiert.
Nennen wir dieses z mal vorsichtig e. Es ist also xe=ex=x für alle x∈X. Sei e′ ein weiteres neutrales Element. Dann gilt ee′=e, es gilt aber auch e′e=e′. Da die Halbgruppe kommutativ ist, gilt e=ee′=e′e=e′. Also gibt es nur ein einziges neutrales Element.
Die Halbgruppe ist also ein Monoid.
Sei nun xz=zx=e für beliebiges x∈X. Es existiert also zu jedem x∈X ein Inverses x−1∈X.
Sei x′−1 ein weiteres Inverses von x. Dann gilt x−1=x′−1xx−1=x′−1 und das Inverse ist eindeutig.
Der Monoid ist also eine Gruppe.
Nun folgt, dass z durch z=x−1y=yx−1 eindeutig bestimmt ist.
Mister