Ist R ein Ring mit Einselement ohne Nullteiler, so ist seine Charakteristik eine Primzahl.

Question

Zeige: Ist R ein Ring mit Einselement ohne Nullteiler mit Charakteristik n e ℕ, so ist n eine Primzahl.

Answer 1

sei \( R \) ein Ring mit Einselement, ohne Nullteiler und mit Charakteristik \( n \in \mathbb{N} \). Sei \( n = pq \) keine Primzahl.

Dann ist \( pq= p \sum_{i=1}^{q} 1 = \sum_{j=1}^{p} \sum_{i=1}^{q} 1 = \sum_{i=1}^{n} 1 = 0\).

Das heißt, \( p \) und \( q \) sind zwei Nullteiler in \( R \). Ein Widerspruch.

Grüße

Mister

Comments

Ich verstehe nicht, wie du darauf kommst dass, das gleich 1 ist und woher die Null kommt kannst du das nochmal erläutern?

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Die Charakteristik des Ringes ist \( n \). Die letzte Gleichung entspricht der Definition der Charakteristik. Das Produkt \( pq \) wird (kanonisch) in eine Doppelsumme umgewandelt.