Zeige: Falls die Folge (an) n∈N konvergiert, so konvergiert auch die Folge (CN)N∈N

Question

Zu einer Folge (a_n)_n∈ℕ sei die Folge (C_N)_N∈ℕ der Cesaro-Mittel definiert durch:
$${ C }_{ N }\quad :=\quad \frac { 1 }{ N } \sum _{ n=1 }^{ N }{ { a }_{ n } } $$
(N ∈ ℕ)

Zeige: Falls die Folge (a_n)_n∈ℕ konvergiert, so konvergiert auch die Folge (C_N)_N∈ℕ der Cesaro-Mittel.


Also, damit C_N konvergiert, muss doch gelten, dass die Summe von a_n konvergiert, d.h. a_n muss gegen 0 konvergieren. D. h. könnte man zeigen, dass die Summe von a_n eine Cauchy-Folge ist, wodurch es konvergent wäre? Und wenn ja, wie mache ich das?

Oder reicht es einfach zu zeigen, dass 1/N stärker gegen 0 konvergiert, als ∑a_n gegen +∞? Und wieder, wenn ja, wie mache ich das?

Answer 1

Hi,
da die Folge \( a_n \) konvergiert, z.B gegen \( a \), gilt,
\( |a_n-a|<\frac{\epsilon}{2} \) für all \( \epsilon >0 \) und \( n>n_0 \)

Zu jedem \( M \), \( n_0 \) und \( \epsilon \) existiert außerdem ein \( n_1 \) mit \( n_1 \ge \frac{2n_0M}{\epsilon} \)

Für alle \( n \ge max(n_0,n_1) \) gilt dann

Betrachte jetzt den Mittelwert, es gilt
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k -a \right| = \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (a_k -a) \right| \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left| a_k -a  \right| = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n_0} \left| a_k -a  \right| + \frac{1}{n} \sum_{k=n_0+1}^{n} \left| a_k -a  \right| \le \frac{n_0M}{n} + \frac{n-n_0}{n}\frac{\epsilon}{2} \le \frac{n_0M}{n} + \frac{\epsilon}{2} \le \frac{n_0M}{n_1} + \frac{\epsilon}{2} \le \epsilon  $$

Wobei \( M \ge \left| a_k-a \right| \) für \( 1\le k \le n_0 \) gilt.