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Die Fibonacci Folge (an) n ∈ℕist rekursiv definiert durch a0 = 1, a1 = 1, an+1 = an + an-1

an+1 · an-1  (an)2 = (-1)^{n+1}        für alle n ≥ 1

mittels Induktion kommt man auf folgenden Schritt

n -> n+1

an+2 * an - (an+1)^2 = (-1)n

hab dann versucht zu vereinfachen und kam nach unzähligen Schritten zu

(-an-1 )^2 -an = (-1)^n

Hab nun keine Ahnung wie ich weitermachen soll hoffentlich kann mir wer helfen

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Als extreme Vereinfachung schlage ich vor, dass du mal beschreibst, was überhaupt zu machen ist.

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Es gilt zu zeigen an+1 · an-1  (an)2 = (-1)n+1 für alle n ≥ 1

setzt man dann für n -> n+1 ein erhält man

an+2 * an - (an+1)2 = (-1)n

ich steck da einfach an meinem punkt fest. Für gerade n muss ja 1 und für ungerade n muss ja -1 herauskommen nur weiß ich nicht ob ich bei meiner vereinfachung irgendwie an ein ergebnis rankomme

Ich bin bis jetzt mal soweit gekommen :

$$ a_{n+1} · a_{n-1} -  (a_n)^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$$
$$ (a_{n}+a_{n-1})· a_{n-1} -  (a_n)^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$ (a_{n})· a_{n-1}+(a_{n-1})^2 -  (a_n)^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$ (a_{n-1}+a_{n-2})· a_{n-1}+(a_{n-1})^2 -  (a_n)^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$ a_{n-2}· a_{n-1}+(a_{n-1})^2+(a_{n-1})^2 -  (a_n)^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$ a_{n-2}· a_{n-1}+(a_{n-1})^2+(a_{n-1})^2 -  (a_{n-1}+a_{n-1})^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$ a_{n-2}· a_{n-1}+(a_{n-1})^2+(a_{n-1})^2 - \left( (a_{n-1})^2+2(a_{n-1}\cdot a_{n-2})+(a_{n-2})^2 \right)= (-1)^{n+1 }  $$
$$ (a_{n-1})^2-(a_{n-1}\cdot a_{n-2})-(a_{n-2})^2 = (-1)^{n+1 }  $$

und weiss ab da auch nicht mehr, wie es weitergeht ...

Bei Induktionsbeweisen hat es sich schon oft bewährt, irgendwann mal die Induktionsvoraussetzung einzusetzen.

Das mit der Induktion habe ich ja völlig vergessen !

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