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Aufgabe (Poisson-Kern für den Kreis)

Für \( x \in \mathbb{R} \) und \( q \in(-1,1) \) sei

\( P(q, x):=\sum \limits_{k \in \mathbb{Z}} q^{|k|} e^{i k x} \)

Zeigen Sie, dass für jedes \( r \in[0,1) \) diese Reihe auf \( \left\{(q, x) \in \mathbb{R}^{2}:|q| \leq r\right\} \) absolut und gleichmäßig konvergiert, und verifizieren Sie die Identität

\( P(q, x)=\frac{1-q^{2}}{1-2 q \cos x+q^{2}} \)

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