beweis: dezimalzahl mit unendlich vielen nachkommastellen.

Question

hi,

ich versuche mich gerade an folgender aufgabe:

Jede Dezimalzahl der Form 0; a₁a₂ ... a_n mit endlicher Anzahl Nachkommastellen a_i ∈{0,1,...,9} für i∈{1,...,n} lässt sich als Zahl in ℝ auffassen durch  x:=∑ⁿ_i=1 (a_i/10ⁱ).

Zeigen sie:

(a) Jede Dezimalzahl der Form 0,a₁a₂... mit unedlich vielen Nachkommastellen (a_i)_i∈ℕ ⊂ {0,1,...,9} lässt sich als Zahl in ℝ auffassen durch x:=∑∞_i=1 (a_i/10ⁱ) = lim_n→∞ ∑ⁿ_i=1 (a_i/10ⁱ).

Ich dachte ich mache das hier mit Monotonie uns Beschränktheit, weiß aber nicht genau wie...

(b) Jede Zahl x ∈ [0; 1) besitzt eine Dezimaldarstellung der Form 0; a₁a₂ ... . D.h. fur jedes

x ∈ [0; 1) gibt es eine Folge (a_i)_i∈ℕ  ⊂ {0,1,..., 9} so dass x=∑∞_i=1 (a_i/10ⁱ).

Als HInweis steht hier: Finden sie für jedes n ein geignetes q_n ∈ℕ mit x∈[q_n/10ⁿ, (q_n+1)/10ⁿ].

(c) Ist diese Darstellung eindeutig?

kann mir hier jemand helfen? (wenn möglich mit vollständigem lösungsweg?)

LG

Answer 1

Hi,

(a) du kannst doch für jedes n die Differenz

$$ \delta(n) := \left | \sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{10^i} - \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{10^i}  \right |$$

nach oben hin abschätzen. Nach der Definition der Konvergenz bleibt dir nur zu zeigen, dass

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \delta(n) = 0 $$

(b) Arbeite mit dem Hinweis. Stelle zuerst die \( q_n \) auf und dann die \(a_i\) in Abhängigkeit der \(q_n\).

(c) Überleg dir: Wenn die Zahl unendlich Dezimalstellen hat dann ja, wenn sie endliche Dezimalstellen hat dann nein! (Gegenbeispiel: Die Zahl selbst und eine Darstellung mit unendlichen Dezimalstellen).

Gruß