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Einem Kegel mit dem Radius R und der Höhe H soll ein Zylinder mit möglichst großem Mantel eingeschrieben werden (ein Achsenschnitt abgebildet ). Brechne den Radius r und die Höhe h des Zylinders!!
von
Das ist eine Extremwertaufgabe und es fehlen noch Angaben.
meinen sie die skizze

1 Antwort

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Hallo

Ich denke ich weiß, wie man die Aufgabe löst.

Ich nehme an, dass H und R des Kegels konstant sind.
Zunächst einmal vereinfacht man das räumliche Problem auf ein ebenes Problem (s. Skizze). Man betrachet den Kegel von der Seite und kann dann die Höhe des Zylinders mit einer Geradengleichung beschreiben:
h(x) = H - x * (H/R)

Für den Radius des Zylinders gilt:
0 ≤ x ≤ R

Die Mantelfläche des Zylinders kann man mit:
MZ(x) = 2*π*x*h(x)   beschreiben.

Um die Aufgabe zu lösen leitet man nun noch MZ(x) nach x ab und setzt es 0:
M'Z(x) = 0
M'Z(x) = 2*π * (H - x * (H/R) ) - 2*π*H/R  * x

2*π * (H - x * (H/R) ) - 2*π*H/R  * x = 0

x = R/2

Wenn also der Radius des Zylinders bei x = R/2 des großen Zylinders liegt, ist die Mantelfläche Maximal bezogen auf einen gegebenen Kegel.

Kegel

von 3,7 k
Sorry, hab mich oben verschrieben:

Es soll heißen:

Wenn also der Radius des Zylinders bei x = R/2 des Kegels liegt, ist die Mantelfläche des Zylinders maximal bezogen auf den gegebenen Kegel.
könntest du mir die Ableitung von M genauer erklären warum wird -2* phi*H/R *x nochmal gerechnet???

MZ(x) = 2*π*x*h(x);

h(x) = H - x * (H/R);

MZ(x) = 2*π*x*( H - x * (H/R) ) = 2*π*x*H  -2*π*x^2 *(H/R);

 

M'Z(x) = 2*π*H -2*π*2*x*H/R = 0;

2*π*H * (1 -2*x/R) = 0; //2*π*H kürzen

1 = 2*x/R;

x = R/2;

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