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Aufgabe1.jpg

Aufgabe: 
Diesem quadratischen Parabelsegment ist das gleichschenklige Dreieck mit der Basis PQ und grösstem Flächeninhalt einzubeschreiben. 

Bestimme den Flächeninhalt und die Winkel des Dreiecks. 


Meine Idee: 
Ich sehe dass PQ nicht festgelegt ist. das heisst, es ist variabel. 
Weil es Variabel ist, kann es beliebig verschoben werden.
PQ sollen so verschoben werden, dass das Dreieck welches im Ursprung seine Spitze hat (Das habe ich hoffentlich richtig interpretiert), maximalen Flächeninhalt besitzt. 

=> Hauptbedingung: \(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} * PQ * h\)  (Ich hoffe dass das auch stimmt)

Funktionsgleichung:
Weiter konnte ich die Funktionsgleichung bestimmen:
\(\rightarrow f(x) = -\frac{1}{2}x^2+ 4.5\)

Probleme:

Was aber ist die Nebenbedingung ? ich kann ja nur sagen, dass h < 4.5 ist. 
Kann mir das jemand erklären ?

von

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Aloha :)

Die Funktionsgleichung hast du völlig richtig bestimmt: \(f(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}(x^2-9)\)

Wegen der Symmetrie brauchst du nur eine Seite zu betrachten, etwa rechts neben der y-Achse. Die Fläche des halben Dreiecks ist:$$F_{1/2}(x)=\frac{1}{2}xy=-\frac{1}{4}(x^3-9x)$$Die Ableitung nach \(x\) gibt uns die Kandidaten für ein Extermum:$$0\stackrel{!}{=}F_{1/2}'(x)=-\frac{1}{4}(3x^2-9)=-\frac{3}{4}(x^2-9)\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt3$$Wegen \(f(\pm\sqrt3)=3\) lauten die gesuchten Punkte:$$P(-\sqrt3|3)\quad;\quad Q(+\sqrt3|3)$$Die Fläche des gesamten Dreiecks ist$$F=2\cdot F_{1/2}=2\cdot\frac{1}{2}xy=xy=3\sqrt3$$Kriegst du die Winkel alleine hin? Falls nicht, frag bitte nochmal nach.

Ergänzung: Winkel

Betrachte wieder nur das halbe Dreieck rechts von der y-Achse. Es ist ein rechtwinkiges Dreieck. Von diesem kennen wir die beiden Katheten, nämlich die x-Koordinate \(\sqrt3\) und die y-Koordinate \(3\). Der Winkel bei Punkt \(P\) aus deiner Skizze ist daher:$$\tan\angle(P)=\frac{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}}=\frac{y}{x}=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$$$$\Rightarrow\quad\angle(P)=\arctan(\sqrt3)=60^o$$Wegen der Symmetrie sind alle anderen Winkel nun klar. Es ist ein gleichseitiges Dreieck, alle Winkel sind \(60^o\) groß.

von 39 k

Ich habe ein Brett vor dem Kopf. 

Ich habe die Punkte so bestimmt: 

- PQ schneidet die Y-Achse  in A( 0 | 3 ) 
- Die Spitze des Dreiecks ist in B( 0 | 0 ) 
- P liegt oben rechts im Punkt   P( 3 | sqrt(3) ) 

Das ergibt mir ein Rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel im Punkt A. 

Ich komme nicht auf die Winkel.

Weiss aber dass sie alle zusammen 180 geben müssen und der Winkel im Punkt P = Winkel im Punkt Q ist.

Winkel Ursprung muss dann 180° - (Winkel P + Winkel Q) sein. 



Schau mal bitte, ich habe meine Antwort um die Winkel ergänzt.

Pefekt, vielen Dank ! :-)

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Es ist PQ = 2x und h=f(x).   Wegen P = ( x, f(x) ) .

von 196 k 🚀

kann ich sagen, dass

f(x) = - 1/2x^2 + 4.5

ist für h ?

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Die Parabel hat die Gleichung f(x)=4,5-x2/2. Dann hat P die Koordinaten (x|4,5-x2/2). Das Dreieck OPQ hat die Fläche F(x)=x·(4,5-x2/2). Diejenige Nullstelle der ersten Ableitung von F, die ein Maximum ist, ist die halbe Strecke PQ.

von 82 k 🚀

Also ich kriege das hier :
Flächenfunktion ist maximal wenn x = sqrt(3) und für dieses x kriege ich A  = ca. 5.2 FE

Seite 1:


A1 EXtrem.png

Seite 2:
A1 EXtrem 2.png

Seite 3: A1 EXtrem 3.png

Wie meinst du dass die erste Nullstelle die halbe Strecke von PQ ist. 



Ich habe in A = 1/2 * PQ * h  | PQ = 2x und h = -1/2x^2 + 4.5

Zielfunktion:
=>  A_{max} = z(x) = 1/2 * 2x *  ( -1/2x^2 + 4.5 )
                               = x *  ( -1/2x^2 + 4.5 )
                               = -1/2x^3 + 4.5x 

z'(x) = -3/2 x^2 + 4.5 
z'(x) = 0 => x1 = sqrt(3) und x2 = - [ sqrt(3) ]

z''(x) < 0 für x1 und so ein Maximum. 

Also setze ich x1 in A_{max} ein und erhalte 5.2 FE

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