Unterraum eines lR Vektorraums

Question

Ich komme leider mit der folgenden Aufgabe nicht zurecht, da ich das Vorgehen noch nicht ganz nachvollziehen kann:

Welche der folgenden Mengen U bildet einen Unterraum des jeweiligen ℝ- Vektorraums V?

a) V= M_n(ℝ), U=M_n(ℚ)

b) V= ℝ³, U={(x₁,x₂,x₃) ∈ V l x₂=0}

c) V=M_n(ℝ), U = {A∈M_n(ℝ) l A ist invertierbar}

Ich weiß, dass ich die Abgeschlossenheit von U unter Addition und Skalarmultiplikation zeigen muss, aber verwende ich dabei bei a) beliebige Element aus ℚ, also v und w zB?

und wie berücksichtige ich bei b) das x₂=0?

ich würde mich über eine Antwort freuen!

Answer 1

So ein Zufall ich hab genau die gleichen Aufgaben :D

Und komme genauso wenig weiter wie du

Comments

So ein Zufall! ^^

Answer 2

Ich helf dir mal ein bisschen.

a) Sei $(a_{ij}) \in U$, das ist eine etwas krüppelige Schreibweise für eine Matrix aber sonst is des so umständlich. Ist die gaze Geschichte jetzt abgeschlossen bezüglich Skalarenmultiplikation? $\rightarrow$ Sei $\lambda \in \mathbb{R}$, betrachte $\lambda (a_{ij}) = (\lambda a_{ij})$. Es gilt $a_{ij} \in \mathbb{Q}$ (aufgrund der Definition des Unterraums, nur rationale Matrizen). Was passiert, wenn man jetzt ein irrationales $\lambda$ nimmt? Liegt die Matrix dann in $U$?

b) Man berücksichtigt $x_2=0$ indem man einfach $x_2$ immer als $0$ betrachtet, kann man nicht anders erklären^^ Ich zeig mal die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition, dann sollte es klar werden, den Rest schaffst du selbst.

Seien $(x_1,x_2,x_3),(x_1',x_2',x_3') \in U$. Aufgrund der Definition gilt dann ja $x_2=x_2'=0$.

$$\Rightarrow (x_1,x_2,x_3) + (x_1',x_2',x_3') = (x_1,0,x_3) + (x_1',0,x_3') = (x_1+x_1', 0, x_3+x_3') \in U$$

denn das Ergebnis erfüllt ja alle Voraussetzungen, um in $U$ zu liegen.

Übrigens:  Vielleicht kennst du es noch aus der Schule: $x_2=0$ ist die Koordinatengleichung einer Ebene.

Zur c): Hier muss geprüft werden, ob die Summe zweier invertierbarer Matrizen wieder invertierbar ist und ob ein Vielfaches einer invertierbaren Matrix wieder invertierbar ist. Hierbei ist z.B. die Determinante hilfreich.

Prinzipiell musst du dir bei solchen Beweisen immer beliebige Elemente aus dem entsprechenden Untervektorraum nehmen, die z.B. addieren oder mit nem beliebigen Skalar multiplizieren und dann das Ergebnis anschauen und prüfen, ob das für jede Wahl der Elemente die Voraussetzungen erfüllt.

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Danke für deine Antwort!

noch eine Frage zu c)

reicht es hier ein Beispiel zu finden, wo die Summe zweier invertierbarer Matrizen (zb aus M₃(ℝ)) nicht invertierbar ist und zu sagen, dass U somit kein Unterraum ist?

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Naja du solltest es schon allgemein für $n$ machen. Theoretisch wäre es ja denkbar, dass dies z.B. für alle $n\geq 3$ gilt.

Ist aber ganz leicht ein allgemeines Beispiel zu finden, denn wenn $A$ invertierbar ist, was kannst du dann über die Invertierbarkeit von $-A$ sagen?