Beweis bzw. Widerlegen: Äquivalenzrelation

Question

Beweise oder Widerlege die folgende Aussage:

Wenn R und S Äquivalenzrelationen sind, dann ist auch R u S eine Äquivalenzrelation.

Was Äquivalenzrelationen ausmacht ist mir bewusst (reflexiv, symmetrisch und transitiv), jedoch scheitere ich ein bisschen an der Aufgabenstellung.
Das ganze ist ja sicherlich nicht damit getan, dass ich ein Beispiel finde, das die Behauptung beweist bzw. widerlegt oder?

Zur generellen Antwort: Ich denke, dass die Aussage nicht zutrifft - liege ich damit schon mal richtig?

Vielen Dank schon im Voraus.

Answer 1

sei \( R = \{ (a, b), (b, a), (a, a), (b, b), (c, c) \} \) und \( S = \{ (a, c), (c, a), (a, a), (b, b), (c, c) \} \).

Dann ist \( (b, a), (a, c) \in R \cup S \), aber es ist \( (b, c) \not\in R \cup S \).

Daher ist \( R \cup S \) keine Äquivalenzrelation, denn die Transitivität ist verletzt.

Mister