Fläche zwischen Graph, Wendetangente und x - Achse

Question

Grüzi.

Habe als Wendetangete g(x)= - x -3 raus und als Hauptfunktion f(x)= ℯ^x - 4e^x/2

Nun soll ich die Fläche berechnen die von den beiden Graphen und der x - Achse begrenzt ist.

Mir fehlt der Ansatz. Gleichsetzen ? Ich denke mal ich brauche eine Funktion die den Hauptgraphen mit Wendetangente beschreibt ? 

Answer 1

f(x)= ℯ^x - 4e^x/2

Wendetangete g(x)= - x -3

"

Mir fehlt der Ansatz."

aber diesmal hast du doch schon mal was ...

Vorschlag:

Mach dir eine Zeichnung mit f und g

dann siehst du, dass du die gesuchte Fläche A zB so berechnen kannst ->

A = 9/2 + |  Integral [von 0 bis ln(16) ] von ( ℯ^x - 4e^{x/2} ) *dx  |

ok?

^.

Comments

Das sollte die eingeschlossene Fläche unterhalb der x-Achse sein:

~plot~e^x-4*e^{x/2}~plot~

Das Integral müsste doch dann von -3 ( also Nullstelle der Wendetangente ) bis 2ln4 gehen ( Nullstelle des Hauptgraphen ) oder irre ich mich ?

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.

die gesuchte Fläche A setzt sich zusammen aus

-> der Fläche unter der Geraden von -3 bis 0 -> deren Masszahl ist 9/2
und
-> der Fläche unter der Kurve y=f(x)  von 0 bis ln(16)

die Berechnung geht so, wie ich es dir oben notiert habe
(Beachte die Betragszeichen !)

ok?

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Alles klar habe es verstanden, einfach die Fläche in 2 Teile einteilen und praktischbeides addieren, alles klar. Nur wie bilde ich die Stammfunktion von f(x)= ℯ^x - 4e^x/2 ?Die lineare Funktion war ja noch relativ simpel...

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"

Die lineare Funktion war ja noch relativ simpel..."  ...JA !

....-> Nur: um die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen

brauchst du wohl nicht unbedingt integrieren  - oder?! -> 1/2 * 3* 3 = 9/2

"

Nur wie bilde ich die Stammfunktion von f(x)= ℯ^x - 4e^x/2 ?"

->

eine Stammfunktion von f(x) ist -> F(x)= e^x - 8* e^{x/2}

-> (beachte: es ist  F ' (x) = f(x) )  

darauf hättest du aber selbst kommen können, nachdem du

vorher doch mehrmals sowas von der Form ableiten konntest ^?!

und:
um dann die Flächenmasszahl zu bekommen -> | F( ln 16 ) - F(0) |

(siehe auch Beitrag ganz oben..)

ok ?

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Jo, danke dir.

Habe es gestern noch alles hinbekommen.

Als Fläche habe ich insgesamt 45,5 km² raus ( 1LE = 1 km )

Und ja hast Recht, beim Dreieck war die Integration etwas umständlich oder sagen wir mal

aufwendiger als 1/2*g*h, ist mir aber erst nach dem Integrieren aufgefallen.

Answer 2

Das ist doch die Tangente in (0/3). Die schneidet die x-Axhse bei -3

Ich tippe mal gemeint ist das Dreieck    (-3/0)   (0/-3) (0/0)
plus das Integral von o bis zur Nullstelle von f und dann von dem ganzen der betrag

Comments

"

Das ist doch die Tangente in (0/3). "

.......................... Falsch ! -> der Punkt   (0/3) liegt ja gar NICIHT auf der Kurve f

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