Fläche zwischen Graphen, x-Achse und Geraden für f(x) = 2e^x + x; a = -1; b = 1

Question

Kann mir jemand diese Aufgabe lösen mit Rechenweg, damit ich es verstehe:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f, der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x = a und x = b.

f(x) = 2e^x + x; a = -1; b = 1

Answer 1

bei b ) gibt es aber ein Problem. f hat auf dem Intervall [-1;1] eine Nullstelle, weshalb du zwei Teilintegrale berechnen musst. Die Nullstelle benutzt du dann als Grenze für deine Integrale, umso die Fläche berechnen zu können.

Weil sich diese Nullstelle von dieser Funktion, mit den meisten heutigen Taschenrechnern noch nicht berechnen lässt, kannst du es auch näherungsweise tun. Mit der Lambert W-Funktion ginge das zwar explizit, aber viele Rechner haben diese Funktion wiegesagt nicht.

Die Nullstelle kannst du näherungsweise, zum Beispiel mit Newton, bestimmen:

$$ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$

Ich nehme den Startwert x_1=1 und erhalte:

$$ x_2=-0.6666666666666666\\ x_3=-0.8443662360909198\\ x_4=-0.8525898544004502\\ x_5=-0.8526055019573834\\ x_6=-0.8526055020137255\\ $$

Also man hat bei ungefähr x=-0,853 eine Nullstelle. Jetzt kann auch damit die Fläche berechnet werden:

$$ \Bigg|\int_{-1}^{-0,853}(2e^x+x)dx\Bigg|+\int_{-0,853}^{1}(2e^x+x)dx=\Bigg|\Bigg[2e^x+\frac{1}{2}x^2\Bigg]_{-1}^{-0,853}\Bigg|+\Bigg[2e^x+\frac{1}{2}x^2\Bigg]_{-0,853}^{1}\\[30pt]=\Bigg|\Bigg(2e^{-0,853}+\frac{1}{2}(-0,853)^2-\Big(2e^{-1}+\frac{1}{2}(-1)^2\Big)\Bigg)\Bigg|+\Bigg(2e^1+\frac{1}{2}1^2-\Big(2e^{-0,853}+\frac{1}{2}(-0,853)^2\Big)\Bigg)\\ \approx |(1,216-1,236)|+(5,937-1,216)=|-0,02|+4,721=0,02+4,721=4,741 $$

Comments

kann ich nicht einfach ein integral von -1 bis 0 und 0 bis 1 ? das ist mir zu kompliziert was du da machst.

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kann ich nicht einfach ein integral von -1 bis 0 und 0 bis 1 ? das ist mir zu kompliziert was du da machst.

Nein, weil das falsch, was du machen willst.

EDIT: Überzeuge dich hiervon:

~plot~ 2*e^x+x;[[-2|2|-3|7]];x=-1;x=-0,853;x=1 ~plot~

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in den lösungen steht integral von -1 bis 1 von 2e^x +x dx=2e-2e^-1 sind 4,7

ich weiß grad gar nichts

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in den lösungen steht integral von -1 bis 1 von 2ex +x dx=2e-2e^-1 sind 4,7

Diese Rechnung ist aber falsch, weil das nicht die Fläche ist.

Answer 2

Hallo

 du musst einfach integrieren von a bis b, die Lösungen hast du ja. Sonst musst du uns schon sagen was du nicht kannst, denn einfach deine HA machen wär ja schlimm, dann wird die nächste Klausur voll daneben und wir wären schuld. Sag immer genau, wo deine Schwierigkeiten liegen, dann kann man dir wirklich helfen.

Gruß lul

Comments

ich weiß nicht wie auf die stammfunktion kommen soll