Diskutiere folgende Funktion.

Question

1) Gegeben sei die Funktion f mit f(x) =3·x⁴ -12·x³ +12·x² - 3

     a) Bestimmen Sie die Nullstellen , die Lage Art der Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f.

     b) Untersuche Sie das Monotonie,- sowie das Krümmungsverhalten der Funktion f .

     c) Stellen Sie die Funktion f grafisch dar.

3) Gegeben sei die Integralfunktion F_a (x) =∫^x_a ( 2t ² +4t) dt

a) Geben Sie den Term der Funktion F_a (x) explizit an.

b) Zeigen Sie ,dass die Ableitung von F_a (x)  gleich dem Term der Integrandenfunktion ist.

c) Nun sei a= 0. Für welchen Wert x gilt F₀ (x) = 4/3 ?

d) Für welche Werte a hat F_a (x) an der Stelle x= 2 eine Nullstelle? Bitte um Hilfe

Comments

erwartest du wirklich die ganze aufgabe ?

Stell doch eine konkrete Frage !

Answer 1

1) Gegeben sei die Funktion f mit $f(x) =3 x^4 -12x^3 +12 x^2 -3$
a) Bestimmen Sie die Nullstellen , die Lage Art der Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f.

Nullstellen:

Probieren mit $x=1$

$f(1) =3 -3=0$ Somit ist bei  $x=1$ eine Nullstelle.

Weiter mit Polynomdivision:

$(3 x^4 -12x^3 +12 x^2 -3):(x-1)=3x^3-9x^2+3x+3$

Probieren mit $x=1$

Wieder ist hier eine Nullstelle, sie ist doppelt und somit auch eine Extremstelle.

Nun Polynomdivision mit $x-1$

$(3x^3-9x^2+3x+3):(x-1)=3x^2-6x-3$

Mit den bekannten Mittel lassen sich nun die beiden weiteren Nullstellen berechnen.

$3x^2-6x-3=0$

$x^2-2x=1$

$(x-1)^2=2|±\sqrt{~~}$

1.)

$x-1=\sqrt{2}$

$x_1=1+\sqrt{2}$

2.)

$x-1=-\sqrt{2}$

$x_2=1-\sqrt{2}$

Extremwerte:

Eine Extremstelle ist schon bei  $x=1$ gefunden worden.

$f'(x) =12 x^3 -36x^2 +24x$

$12 x^3 -36x^2 +24x=0$

$x^3 -3x^2 +2x=0$

$x(x^2 -3x +2)=0$  Satz vom Nullprodukt:

$x_2=0$        $f(0) = -3$

$x^2 -3x=-2$ 

$(x -1,5)^2=-2+1,5^2=0,25|±\sqrt{~~}$

1.)

$x -1,5=0,5$

$x_2 =2$       $f(2) =3 \cdot 16 -12\cdot 8 +12 \cdot 4 - 3=-3$

2.)

$x -1,5=-0,5$

$x_3=1$ siehe auch bei den Nullstellen

Art der Extremwerte:

$f''(x) =36 x^2 -72x +24$

$f''(0) =24>0$ Minimum

$f''(1) =36 -72 +24=-12<0$ Maximum

$f''(2) =36\cdot 4 -72\cdot 2 +24=24 >0$ Minimum

Wendestellen:

$36 x^2 -72x +24=0$

$x^2 -2x =-\frac{2}{3}$

$(x -1)^2 =-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}$

Weiter ausrechnen.

Die Wendepunkte lassen sich auch berechnen.

Comments

$(3x^3-9x^2+3x+3):(x^2-2x+1)=3x^2-6x-3$

Falsch.

$f(x) = -3$

Auch falsch.

Weiter ausrechnen.

Die Wendepunkte lassen sich auch berechnen.

Da hatte man dann wohl keine Lust mehr.

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Hallo Moliets,

$(3x^3-9x^2+3x+3):(x^2-2x+1)=3x^2-6x-3$

Hier musst du nur noch durch $(x-1)$ teilen, nicht durch $(x-1)^2$

Alternativ: $(3x^4-12x^3+12x^2-3):(x^2-2x+1)=3x^2-6x-3$

$f(x_\green2)=-3$

Gruß, Silvia

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Wenn man die Funktion mit den gefundenen Nullstellen in der Form:

f(x) = 3(x-1)⁴ - 6(x-1)²

schreibt, kann man die meisten Fragen leicht beantworten. Wegen der offensichtlichen Symmetrie bzgl. x=1 kann man sich bei der weiteren Betrachtung auch auf x ≥ 1 beschränken.

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Herzlichen Dank an Silvia und Jumanji.

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3)

a)  Gegeben sei die Integralfunktion

$F_a (x) =\int\limits_{a}^{x} ( 2t^ 2 +4t) dt=[\frac{2}{3}t^3+2t^2]_{a}^{x}\\=[\frac{2}{3}x^3+2x^2]-[ \frac{2}{3}a^3+2a^2 ]$

b) Zeigen Sie, dass die Ableitung von Fa (x)  gleich dem Term der Integrandenfunktion ist.

$[\frac{2}{3}x^3+2x^2- \frac{2}{3}a^3-2a^2 ]'=2x^2+4x$

c) Nun sei $a= 0$. Für welchen Wert x gilt $F_0 (x) = \frac{4}{3}$

$\frac{4}{3}=\frac{2}{3}x^3+2x^2$

$x^3+3x^2-2 =0$

Proben mit:

$x=1$       $1+3-2 >0$

$x=-1$      $(-1)^3+3\cdot (-1)^2-2 =0$✓

Polynomdivision mit $x+1$

$(x^3+3x^2-2):(x+1) =x^2+2x-2$

$x^2+2x-2=0$

$(x+1)^2=2+1^2=3|±\sqrt{~~}$

1.)

$x+1=\sqrt{3}$

$x_2=-1+\sqrt{3}$

2.)

$x+1=-\sqrt{3}$

$x_3=-1-\sqrt{3}$

d) Für welche Werte a hat $F_a (x)=\frac{2}{3}x^3+2x^2- \frac{2}{3}a^3-2a^2$ an der Stelle $x= 2$ eine Nullstelle.

$F_a (2)=\frac{2}{3}\cdot 2^3+2\cdot 2^2- \frac{2}{3}a^3-2a^2\\=\frac{16}{3}+8- \frac{2}{3}a^3-2a^2$

$40-2a^3-6a^2=0$

$a^3+3a^2-20=0$

Proben mit den Teilern von 20 ergibt für $a=2$ eine Nullstelle.

Polynomdivision $(a^3+3a^2-20):(a-2)$ keine weiteren Nullstellen.

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Proben mit den Teilern von 20 ergibt für $a=2$ eine Nullstelle.

Das ist nicht notwendig. Offensichtlich ist $F_a(a)=0$.

Answer 2

a)

Nullstellen

f(x) = 3·x^4 - 12·x^3 + 12·x^2 - 3 = 3·(x^4 - 4·x^3 + 4·x^2 - 1) = 0

Erste geratene Nullstelle bei x = 1 und Polynomdivision
(x^4 - 4·x^3 + 4·x^2 - 1)/(x - 1) = x^3 - 3·x^2 + x + 1

Zweite geratene Nullstelle bei x = 1 und Polynomdivision
(x^3 - 3·x^2 + x + 1)/(x - 1) = x^2 - 2·x - 1

Nullstellen des Restpolynoms über pq-Formel
x^2 - 2·x - 1 = 0 → x = 1 ± √2 → x = -0.4142 ∨ x = 2.4142

Extrempunkte

f'(x) = 12·x^3 - 36·x^2 + 24·x = 12·x·(x^2 - 3·x + 2) = 12·x·(x - 1)·(x - 2) = 0 → x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2

f(0) = -3 → TP(0 | -3)
f(1) = 0 → HP(0 | 0)
f(2) = -3 → TP(0 | -3)

Wendepunkte

f''(x) = 36·x^2 - 72·x + 24 = 36·(x^2 - 2·x + 2/3) = 0 → x = 1 ± √3/3 → x = 0.4226 ∨ x = 1.5774

f(1 - √3/3) = -5/3 = -1.6667 → WP(1 - √3/3 | -5/3)
f(1 + √3/3) = -5/3 = -1.6667 → WP(1 + √3/3 | -5/3)

b)

Im Intervall ]-∞ ; 0] streng monoton fallend.
Im Intervall [0 ; 1] streng monoton steigend.
Im Intervall [1 ; 2] streng monoton fallend.
Im Intervall [2 ; ∞[ streng monoton steigend.

Im Intervall ]-∞ ; 1 - √3/3] linksgekrümmt.
Im Intervall [1 - √3/3 ; 1 + √3/3] rechtsgekrümmt.
Im Intervall [1 + √3/3 ; ∞[ linksgekrümmt.

c)

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f₁(x) = 3x⁴-12x³+12x²-3P(-0,4142|0)P(1|0)P(2,4142|0)P(0|-3)P(2|-3)P(0,4226|-1,6667)P(1,5774|-1,6667)