Zeige, dass reelle Zahlenfolge konvergiert gdw. (max{xn,0}) und (min{xn,0)) konvergieren.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass eine reelle Zahlenfolge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) genau dann konvergiert, wenn \( \left(\max \left\{x_{n}, 0\right\}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(\min \left\{x_{n}, 0\right\}_{n \in \mathbb{N}}\right) \) konvergieren.

Hinweis. Zeigen Sie zunächst, dass für zwei konvergente Folgen \( \left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit den Grenzwerten

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=y \quad \text { und } \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} z_{n}=z \)

auch die Folgen \( \left(\max \left\{y_{n}, z_{n}\right\}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(\min \left\{y_{n}, z_{n}\right\}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergieren und die Grenzwerte

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \max \left\{y_{n}, z_{n}\right\}=\max \{y, z\} \quad \text { und } \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \min \left\{y_{n}, z_{n}\right\}=\min \{y, z\} \)

haben.

Answer 1

Für max sähe es wohl so aus:

Sei eps > 0
 [ Dann ist ein no zu suchen,
dass für alle n > no gilt   | max(y,z) - max(yn,zn) | < eps  ]

falls y=z ist, gilt ja:  wegen der Konvergenz von zn und yn:
1.  es gibt ein no  so dass für
   alle n > no gilt   | yn - y | < eps und
2. es gibt ein n1  so dass für
   alle n > n1 gilt   | zn - z | < eps

für n > max(no,n1) gilt also beides.
| yn - y | < eps und     | zn - z | < eps
wegen y=z = max(y,z) also auch
| yn - max(y,z) | < eps und     | zn -  max(y,z) | < eps
Da max(yn,zn) ja einer der beiden yn oder zn ist, und für
beide die Ungleichung gilt, gilt auch
  | max(yn,zn ) - max(y,z) | < eps
                                         q.e.d.
Für min so ähnlich.

und für die eigentliche Aufgabe wähle für yn die Folge xn mit GW x
und als zweite Folge die Folge aus lauter Nullen
also  zn=0 für alle n aus IN mit GW 0.
und benutze den gerade bewiesenen Satz.