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Aufgabe:

Für eine Funktion f:ℝ→ℝ bezeichne mit f+ und f- die Funktionen f+(x)=max( f(x) , 0 ) und f-(x)=min( f(x) , 0).

Beweisen Sie für jedes x∈ℝ die Formeln f(x)=f+(x)+f-(x) und  l f(x) l =f+(x) - f-(x). Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist, wenn f+ und f- beide stetig sind.


Bei den Formeln dachte ich, dass man die Definitionen einsetzen kann, wüsste dann aber nicht weiter.

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Man macht einfach für beide Fälle eine Fallunterscheidung:

 

f(x) = f+(x)+f-(x):

Falls f(x) > 0 ⇒ f-(x) = 0, f+(x) = f(x) ⇒ f(x) = f+(x)+f-(x)

Falls f(x) < 0 ⇒ f-(x) = f(x), f+(x) = 0 ⇒ f(x) = f+(x)+f-(x)

Falls f(x) = 0 ⇒ f-(x) = 0, f+(x) = 0 ⇒ f(x) = f+(x)+f-(x)

 

lf(x)l =f+(x) - f-(x):

Falls f(x) > 0 ⇒ f-(x) = 0, f+(x) = f(x) ⇒ |f(x)| = f(x) = f+(x)-f-(x)

Falls f(x) < 0 ⇒ f-(x) = f(x), f+(x) = 0 ⇒ |f(x)| = -f(x) = f+(x)-f-(x)

Falls f(x) = 0 ⇒ f-(x) = 0, f+(x) = 0 ⇒ |f(x)| = 0 = f+(x)+f-(x)

 

Für die zweite Aufgabe: Zu zeigen ist:

i) f+(x), f-(x) sind stetig ⇒ f(x) ist stetig.

ii) f(x) ist stetig ⇒ f+(x), f-(x) sind stetig.

 

i) ist sehr leicht, denn die Summe von stetigen Funktionen ist wieder stetig.

ii) Wenn f(x) stetig ist, dann ist auch |f(x)| stetig, weil die Betragsfunktion stetig ist und die Superposition stetiger Funktionen wieder stetig ist.

Dann ist aber auch (f(x)+|f(x)|)/2 stetig, weil das wieder die Summe zweier stetiger Funktionen ist. Es gilt aber:

(f(x) + |f(x)|)/2 = (f+(x)+f-(x) + f+(x)-f-(x))/2 = f+(x)

Also ist f+(x) stetig.

Analog erhält man mit (f(x)-|f(x))/2 = f-(x), also ist auch f-(x) stetig.

 

Beantwortet von 10 k

Danke für deine Hilfe.

Aber wie kann denn bei letzten Teil wo man die Stetigkeit zeigen soll f-(x) rauskommen? Das würde doch nicht gehen, wenn man es mit deiner Rechnung macht oder sehe ich das jetzt falsch?

Da würde sich doch der Zähler komplett wegkürzen?!

$$ \frac { f ( x ) - | f ( x ) | } { 2 } = \frac { f _ { + } ( x ) + f _ { - } ( x ) - f _ { + } ( x ) - f _ { - } ( x ) } { 2 } = \frac { f _ { + } ( x ) - f _ { + } ( x ) + f _ { - } ( x ) - f _ { - } ( x ) } { 2 } = \frac { 0 } { 2 } $$

Nein, du darfst die Klammer nicht vergessen:

$$ \frac { f ( x ) - | f ( x ) | } { 2 } = \frac { f _ { + } ( x ) + f _ { - } ( x ) - \left( f _ { + } ( x ) - f _ { - } ( x ) \right) } { 2 } = \frac { f _ { + } ( x ) - f _ { + } ( x ) + f _ { - } ( x ) - \left( - f _ { - } ( x ) \right) } { 2 } = \frac { 2 f _ { - } ( x ) } { 2 } = f _ { - } ( x ) $$

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