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ich bekomme die Aufgabe irgendwie nicht hin. Kann mir bitte jemand helfen?

 

Für eine Funktion f:ℝ→ℝ bezeichne mit f+ und f- die Funktionen f+(x)=max( f(x) , 0 ) und f-(x)=min( f(x) , 0).

Beweisen Sie für jedes x∈ℝ die Formeln f(x)=f+(x)+f-(x) und  l f(x) l =f+(x) - f-(x). Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist, wenn f+ und f- beide stetig sind.

 

Bei den Formeln dachte ich, dass man die Definitionen einsetzen kann, wüsste dann aber nicht weiter.

 

Wäre nett, wenn mir jemand hilft.

Danke.

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Man macht einfach für beide Fälle eine Fallunterscheidung:

 

f(x) = f+(x)+f-(x):

Falls f(x) > 0 ⇒ f-(x) = 0, f+(x) = f(x) ⇒ f(x) = f+(x)+f-(x)

Falls f(x) < 0 ⇒ f-(x) = f(x), f+(x) = 0 ⇒ f(x) = f+(x)+f-(x)

Falls f(x) = 0 ⇒ f-(x) = 0, f+(x) = 0 ⇒ f(x) = f+(x)+f-(x)

 

lf(x)l =f+(x) - f-(x):

Falls f(x) > 0 ⇒ f-(x) = 0, f+(x) = f(x) ⇒ |f(x)| = f(x) = f+(x)-f-(x)

Falls f(x) < 0 ⇒ f-(x) = f(x), f+(x) = 0 ⇒ |f(x)| = -f(x) = f+(x)-f-(x)

Falls f(x) = 0 ⇒ f-(x) = 0, f+(x) = 0 ⇒ |f(x)| = 0 = f+(x)+f-(x)

 

Für die zweite Aufgabe: Zu zeigen ist:

i) f+(x), f-(x) sind stetig ⇒ f(x) ist stetig.

ii) f(x) ist stetig ⇒ f+(x), f-(x) sind stetig.

 

i) ist sehr leicht, denn die Summe von stetigen Funktionen ist wieder stetig.

ii) Wenn f(x) stetig ist, dann ist auch |f(x)| stetig, weil die Betragsfunktion stetig ist und die Superposition stetiger Funktionen wieder stetig ist.

Dann ist aber auch (f(x)+|f(x)|)/2 stetig, weil das wieder die Summe zweier stetiger Funktionen ist. Es gilt aber:

(f(x) + |f(x)|)/2 = (f+(x)+f-(x) + f+(x)-f-(x))/2 = f+(x)

Also ist f+(x) stetig.

Analog erhält man mit (f(x)-|f(x))/2 = f-(x), also ist auch f-(x) stetig.

 

Beantwortet von 10 k

Danke für deine Hilfe.

Aber wie kann denn bei letzten Teil wo man die Stetigkeit zeigen soll f-(x) rauskommen? Das würde doch nicht gehen, wenn man es mit deiner Rechnung macht oder sehe ich das jetzt falsch?

Da würde sich doch der Zähler komplett wegkürzen?!

ii

Nein, du darfst die Klammer nicht vergessen:

 

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