Identität mit Summen zeigen: 2 Σ ak bk = a1 b1 + Σ ak (bk - bk-1) + Σ (ak + ak+1)bk + anbn

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für jede positive ganze Zahl \( n \) und beliebige reelle Zahlen \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) und \( b_{1}, \ldots, b_{n} \)

\( 2 \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} b_{k}=a_{1} b_{1}+\sum \limits_{k=2}^{n} a_{k}\left(b_{k}-b_{k-1}\right)+\sum \limits_{k=1}^{n-1}\left(a_{k}+a_{k+1}\right) b_{k}+a_{n} b_{n} \)

gilt.

Answer 1

Hi,
die rechte Seite kann man auch so schreiben
$$ a_1b_1+\sum_{k=2}^n a_k(b_k-b_{k-1})+\sum_{k=1}^{n-1}(a_k+a_{k+1})b_k+a_nb_n =  $$
$$ a_1b_1+\sum_{k=2}^na_kb_k-\sum_{k=2}^na_kb_{k-1}+\sum_{k=1}^{n-1}a_kb_k+\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1}b_k+a_nb_n=  $$
$$ a_1b_1+2\sum_{k=2}^{n-1}a_kb_k+a_nb_n+a_1b_1+a_nb_n-\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1}b_k+\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1}b_k= $$
$$ 2\sum_{k=1}^n a_kb_k $$

Comments

vielen dank dafür, aber ich verstehe, den ersten und den letzten Schritt, jedoch den von der 2 auf die 3. Zeile nicht...wie verschwindet der laufeindex n der ersten beiden Summen ? Und wie wir daraus n-1.. .?

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Einmal fasst man die Summen zusammen wo über \( a_kb_k \) summiert wird, muss aber darauf acheten das man einmal von \( 2 ... n \) summiert und einmal vonn \( 1 ...n-1  \) Dadurch entstehen die Terme \( a_1b_1 \) und \( a_nb_n \) zusätzlich.

Wo über \( a_{k}b_{k-1} \) summiert wird, muss man eine Indexverschiebung von \( 2 ... n \) auf \( 1... n-1 \) vornehmen und den Laufindex in der Summe entsprechend anpassen.

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Und warum muss man beim ersten den laufeindex in der Summe nicht anpassen. Wenn man aus dem 1...n-1, 2....n-1 macht ?

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Der Laufindex wird angepasst damit die Summen vergleichbar werden. Einmal steht ja \( a_kb_{k-1} \) da und einmal \( a_{k+1}b_k \)

Beim ersten zusammenfassen sind die Laufindizes schon gleich, nämlich \( a_kb_k \). Da muss man nur noch richtig zusammenfassen, was gelingt, wenn Du es so machst wie ich beschrieben habe.