Beweisen Sie, dass, soweit nicht weiter bestimmt, für alle n ∈ ℕ folgende Aussagen gelten

Question

Beweisen Sie, dass, soweit nicht weiter bestimmt, für alle \( n \in \mathbb{N} \) folgende Aussagen gelten:

a) \( \sum \limits_{\ell=1}^{n} \frac{\ell}{2^{\ell}}=2-\frac{n+2}{2^{n}} \)

b) \( \prod \limits_{j=2}^{n}\left(1-\frac{3}{j(j+2)}\right)=\frac{3+n}{4 n} \quad \) für \( n \geq 2 \)

c) \( \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{(i+3)(i+4)}=\frac{n}{4(n+4)} \),

d) \( \prod \limits_{k=1}^{n} k>2^{n} \quad \) für \( n>3 \)

Comments

Wie wärs mit vollständiger Induktion. Wenn du nicht weißt wie das geht hast du ja schon mal den ersten Schritt zur Lösung der Aufgaben durchgeführt. Im Internet gibt es sehr viele Erklärungen dazu. Guck mal hier zum Beispiel:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion

Answer 1

zum Beispiel für den ersten Fall:

Erst mal für n=1 zeigen, dann besteht die Summe nur aus einem Summanden  1/ 2^1  also = 1/2
die rechte Seite der Gleichung    2  -  (1+2) / 2^1  =  2 - 3/ 2  =  1/2   Bingo!

Annahme:  Formel stimmt für n  
zu zeigen:  Formel stimmt dann auch für n+1
also geht die Summe dann bis n+1, das ist das gleiche wie die
Summe bis n und dann noch der letzte Summand dazu
also   summe bis n+1 = summe bis n   +  ( n+1)/ 2^{n+1}
Die Summe bis n ist aber wegen der Annahme bekannt, das setze ich ein:

                                       =   (  2  -  (n+2)/ 2^n  )  +   ( n+1)/ 2^{n+1}  dann Hauptnenner!

                                        =   2   -   2(n+2)/ 2ⁿ⁺¹  +   ( n+1)/ 2ⁿ⁺¹

=    2   -   (2n+4)/ 2ⁿ⁺¹  +   ( n+1)/ 2ⁿ⁺¹  

=   2  +  (-2n-4+n+1) / 2^ⁿ⁺¹    =  2 + (-n-3)/ 2^ⁿ⁺¹   = 2 -  (n-3)/ 2^ⁿ⁺¹

und das ist genau das, was bei der Formel,

wenn man sie für n+1 hinschreibt, rauskommen muss.

Also q.e.d.