Beweisen Sie folgende Behauptungen: i) A+B = B+A

Question

beweisen sie folgenden behauptungen

seien A,B ∈Κ ^mxn a∈Κ ^1xn , c,d, ∈Kⁿ und α∈ K dann gilt

i) A+B=B+A

ii) α(A+B)=αA+αB

iii) a*(c+d)=a*c+a*d

iv)(A+B)*c=A*c+B*c

Comments

versuche vielleicht erstmal mit einem Beispiel auszuprobieren, ob i bis iv gilt und dann das ganze noch allgemein hinschreiben.

Vielleicht hilft dir noch dieser Link. (schau dir da "4.Rechenoperationen für Matrizen an")

http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/matrizen/matrizen.html

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was für ein link ?

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 diese internetseite

http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/matrizen/matrizen.html

vlt schreibt hier auch jm... leider hab ich schwierigkeiten, die Matrizen hier einzutippen...

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danke dir ich habe die lösung  gefunden :D ich bräuchte nur eine erklärung :) danke

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Gerne :)

zur erklärung, es sind die Rechengesetzte, die du auch kennst :)

beispiel, das i → Kommutativgesetz: 3+2 = 2+3 . man kann bei der Addition einfach die beiden Zahlen (Summanden) vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert.
Allgemein:
a+b = b +a

deine Aufgabe sieht schwer aus... ist aber sehr einfach :)

für i:

a_1,1   ..... a1,n                  b_1,1   ..... b_1,n               a_1,1 + b_1,1   ..... a_1,n + b_1,n           
                            +                                           =                                                          

a_{m,1   ....} a_m,n=               b_1,1   ..... b1,n                 a_m,1 +b_m,1 ....... a_m,n + b_m,n      

   

    b_1,1 + a_1,1 ..... b_1,n +a_1,n
=
    b_m,1 + a_m,1 ..... b_m,n +am,n



   
               b_{1,1   ...}.b. _1,n                                   a_{1,1   .....} a_{1,n                 
=}                                                  +
                 b_{1,1   .....} b_1,n                                 a_1,1   ..... a1,n                

das ist jetzt für i der beweis.

Answer 1

beweisen sie folgenden behauptungen

seien A,B ∈Κ ^mxn a∈Κ ^1xn , c,d, ∈Kⁿ und α∈ K dann gilt

i) A+B=B+A

für alle i aus 1 bis m und j aus 1 bis n gilt

das Element i,j in A+B ist a_i,j + b _i,j  da K ein Körper ist, ist die Addition in K kommutativ,

also a_i,j + b _i,j =  b_i,j + a_i,j und das ist das entsprechende Element in B+A  q.e.d.

ii) α(A+B)=αA+αBähnlich wie a) Gleichheit der entsprechenden Elemente zeigen

iii) a*(c+d)=a*c+a*d

sei a= (a1  a2 ... an ) eine 1-zeilige Matrix mit n Spalten und  c,d entsprechende

Spalten mit je n Komponenten, dann ist c+d eine Spalte mit den Komponenten ai+bi für

alle i aus 1 bis n. Dann gilt

a*(c+d) ist das Körperelemet  a1*(b1+c1)  +  a2*(b2+c2) + ......   + an(bn+cn )

wegen Distrib. in K ist dies  (  a1*b1+a1*c1)+ (   a2*b2+a2*c2) + ...... +(  an*bn+an*cn )

nach mehrfacher Anwendung von Assoz. und Komm. ist das

(  a1*b1 +  a2*b2 + ......   + an*bn )+ (  a1*b1+  a2*b2 +.....  + an*bn )

= a*c+a*d

iv)(A+B)*c=A*c+B*c   ähnlich wie bei a) für eine beliebige Zeile von A+B  zeigen

Answer 2

Das sind doch allesamt Axiome, oder?

Comments

Das ist doch keine Antwort oder? Nein sind es nicht. Man kann die Rechenregeln aus den Körperaxiomen herleiten.