Aufgabe:
Sie haben gelernt, dass für konvergente Zahlenfolgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auch die Folgen \( \left(a_{n}+b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(a_{n} b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergieren. Gelten auch die umgekehrten Aussagen? Mit anderen Worten, beweisen bzw. widerlegen (durch Gegenbeispiel) Sie die folgenden Behauptungen für zwei reelle Zahlenfolgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \).
(i) Falls \( \left(a_{n}+b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert, so konvergieren auch \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} . \)
(ii) Falls \( \left(a_{n} b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert, so konvergieren auch \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).
(iii) Falls \( \left(a_{n}+b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(a_{n} b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergieren, so konvergieren auch \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).
