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ich habe da noch 3 Aufgaben wo ich überhaupt nicht weiterkomme bitte helft mir.

n

∏  (1-1/i) = ?

i=2

-----------------------------------------------

n

∏ (1+1/i) = ?

i=1

________________________________

n

∏ (1- 1/(i^2))   (also durch i Quadrat)

i=2


Bitte mit Beweis danke im voraus.

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n

∏  (1-1/i) = ?

i=2

Rechne doch mal ein paar aus, dann siehst du für n=2 kommt 1/2 raus

für n=3 kommt 1/3   raus   ( kannst du nämlich kürzen)

für n=4 kommt 1/4   raus    etc 

Also ist das ? schon mal   1/n

Induktionsbeweis ist klar ????   ach ne, siehe unten

bei 2) kannst du auch schnell sehen, dass  ? = n/2 ist

bei 3 muss man schon etwas genauer schauen und hat dann

(n^2+n-2) / (2n(n-2) )

beweis mach ich mal bei 1 vor:

Ind. anfang  (n=2)   Produkt von i=2 bis 2 ist nur ein Faktor, nämlich (1 - 1/2) = 1/2

hier stimmt die Formel.

Induktionsvor. Gelte die Formel für ein n:  also prod bis n hat das Ergebnis 1/n

dann muss die Gültigkeit für n+1 nachgewiesen werden, das geht so:

Das Produkt bis n+1 ist das gleiche wie das Produkt bis n und dann mal den letzten faktor

also  prod. bis n  *   (1- 1/(n+1) )   [Das i ist ja jetzt das n+1]

Das Produkt bis n ist ja aus der Ind.vor. bekannt, das setzen wir jetzt ein, dann ist es

    1/n     *   (1- 1/(n+1) )    =   1/n *  n/(n+1)    =   1 / (n+1) und das soll ja bei der

Formel für n+1 auch rauskommen. Also   q.e.d.

So ähnlich geht es auch bei 2) und   3)




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