Für welche x ∈ ℝ sind die folgenden Funktionen definiert? Geben Sie die stetige Fortsetzung auf ℝ an.

Question

Für welche \( x \in \mathbb{R} \) sind die folgenden Funktionen definiert?

Geben Sie die stetige Fortsetzung auf \( \mathbb{R} \) an, sofern dies möglich ist.

(a) \( f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} \)

(b) \( g(x)=\frac{x}{|x|} \)

(c) \( h(x)=\frac{|x-1|}{x^{2}-2 x+1} \)

(d) \( k(x)=\frac{\sin (x)}{\sqrt{1-\cos (x)}} \)

Answer 1

f(x) =   (x^2-1)   /  (x-1)     =   (x+1)(x-1)  /  (x-1 )   kannst du für x ungleich 1 kürzen zu   x+1
und dieser Term ist ja für x=1 auch definiert, deshalb wäre die Fortsetzung f(1) = 2

Bei b) geht es nicht, da für x>0 immer 1 rauskommt und für x<0 immer -1.

Das lässt sich nicht stetig verbinden.