Wie bestimmt man den Grenzwert für diese Funktion?

Question

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{n}-1}{x}, \quad(n \in \mathbb{N}) \)

Hat diese Funktion überhaupt einen bestimmten Grenzwert? Wie kann ich die finden?

Answer 1

Entweder benutzt du die Regel von l'Hospital oder du schreibst \((1+x)^n\) mithilfe des Binomischen Lehrsatzes als Summe und formst dann ein bisschen um.

Comments

Welche Grenzwert ist es am Ende?

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Wie wär's, wenn du meinen Hinweis befolgst und den Grenzwert selbst ausrechnest?

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Also dein Hinweis hilft mir leider nicht so viel, weil bei mir die Grenzwert undefiniert herauskommt. 

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Dann nehmen wir mal den Weg über den Binomischen Lehrsatz. Was ist denn \((1+x)^n\)?

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(1+x)ⁿ=∑ⁿ_k=0  (ⁿ _k) 1^n-k x^k   das meinst du?  Macht das alles nicht viel komplizierter? 

    

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Könnten wir irgendwie die Eulersche Formel vielleicht anwenden?

\( e^{\tilde{z}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{n} \)

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Die Eulersche Formel bringt hier nichts.

Wegen \(1^{n-k}=1\) ist \((1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k\).
Das setzen wir jetzt ein: \(\frac{(1+x)^n-1}{x}=\frac{\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k -1}{x}\).

Wenn du dir in der Summe den ersten Summanden anguckst (also für k=0), dann sollte dir auffallen, wie man den Zähler vereinfachen kann.

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Erste Idee von Nick : Hospital ist hier wirklich simpel und zielführend ...

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erstens: Hospital ist meiner Meinung nach schneller.

zweitens: mich interessiert jetzt doch, wie man den Zähler bei Verwendung des binom. Lehrsatzes sinnvoll vereinfachen kann? Für den Limes muss der Nenner aufgelöst werden, was für beliebiges n aus N jedoch wegen der, sich der Summe anschließenden (-1) nicht gelingen will.

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Ja, l'Hospital geht hier vielleicht etwas schneller. Ich finde allerdings den Weg über den Binomischen Lehrsatz schöner. Das funktioniert so:
\(\frac{\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k-1}{x}=\frac{\sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k}x^k}{x}=\sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k}x^{k-1}\). Und jetzt noch den Grenzübergang \(x\to 0\) durchführen.

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Ah ja... Cool:) ... 0 hoch0 gleich 1, speziell aber geht... Kennst Du eine Regel, wann man 0 hoch 0 =1 annehmen darf und wann nicht?

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Das braucht man hier eigentlich gar nicht, wenn man noch dazu sagt, dass obige Umformung nur für \(x\neq 0\) gilt (was ja eigenlich klar ist wegen dem x im Nenner). Den Grenzübergang kann man dann trotzdem machen.

\(0^0=1\) definiert man z.B. bei Potenzreihen/Taylorreihen.