Aufgabe:
a) Bestimmen Sie Kern \( F \) und Bild \( F \) für die Standardinterpretation \( F=F_{A} \) von
\( A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 3} \)
b) Im \( \mathbb{R}^{2} \) seien drei Vektoren \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) gegeben, im \( \mathbb{R}^{3} \) seien \( e_{1}, e_{2}, e_{3} \) die Einheitsvektoren. Wieso gibt es keine lineare Abbildung \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \), die für alle \( i=1,2,3 \) die Bedingung \( F\left(v_{i}\right)=e_{i} \) erfüllt?
Ansatz:
Zu a) Wie habe ich Kern und Bild zu bestimmen bei Aufgabenteil a? Handelt es sich dabei um eine Abbildung von den Vektoren Zeilen als Spalten zu den Spalten der Matrix? Muss ich für die Bestimmung des Kerns einfach die Matrix 0 setzen? Und wie bestimme ich das Bild?
Bei b) würde ich darauf tippen, dass es etwas mit der unterschiedlichen Dimension zu tun hat, dass sich die Einheitsvektoren nicht erzeugen lassen, da diese eine Basis sind und sich selbst mit einer Basis aus dem lR² nicht die Basis des lR³ erzeugen lässt. Ich könnte mir vorstellen, dass man 2 der Einheitsvektoren erzeugen könnte, aber niemals 3 da wenn man alles Elemente zusammen zählt man auf 6 kommt, da würden also immer mindestens 3 Werte fehlen, die man zur Erzegung bräuchte.
