Berechne φ(3v + 5w) und bestimme die Matrix. Bestimme Basen von Kern und Bild der Abbildung 2 mit der Matrix.

Question

Aufgabe Matrixabbildungen:

Die Matrixabbildung \( \varphi \) bildet die Vektoren \( \vec{v}:=(1) \) und \( \bar{w}:=\left(\begin{array}{l}1 \\ -1\end{array}\right) \) so ab:

\( \varphi: \vec{v} \mapsto 2 \vec{v}, \quad \vec{w} \mapsto-\vec{w} \)

(a) Berechne \( \varphi(3 \vec{v}+5 \vec{w}) \) und bestimme die Matrix von \( \varphi \).

(b) Was wird aus \( \vec{v} \) und was wird aus \( \vec{w} \), wenn man \( \varphi \) zehnmal anwendet? [Es ist nicht schlau, hier mit der Matrix von \( \varphi \) zu arbeiten.]

(c) Bestimme Basen von Kern und Bild der Abbildung 2 mit der Matrix

\( B:=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 6 \\ -1 & 1 & 5 & 7 \end{array}\right) \)

(d) Zeige, dass \( P:=\left(\begin{array}{ll}1 \\ 0 & 2\end{array}\right) \) Projektionsmatrix ist, und bestimme Bildraum und Projektionsrichtung.

Ansatz/Problem:

Muss ich bei a) z. B. 3* den Vektor rechnen? Und wie bestimme ich die Matrix?

Answer 1

mit f statt phi hast du
f(3*v+5*w) = 3*2*v + 5 * (-w) = ...
für die Matrix brauchst du das Ergebnis von   f( x1,x2)
dazu musst du den Vektor (x1,x2) in der Form a*v + b*w darstellen, und aus

(x1,x2) =a*v + b*w= ( a+b  ,  a-b) bekommst du a= 0,5(x1+x2)  und b= o,5 (x1-x2)

also ist f(x1,x2) =  0,5(x1+x2) *f(v) +o,5 (x1-x2)*f(w)=   M * (x1,x2)

mit M = 0.5   1.5

            1.5    0,5

Das wäre die Matrix.

b) 2^{10} * v      und   (-1)^{10} * w = w 

c) Für Kern löst du nur die Gleichung B*(x1,x2,x3,x4) = 0 von IR^3 

gibt  ( -13t , -10t , -2t , t ) also Basis vom Kern  (-13,-10,-2,1)

d) hier zeigst du P*P=P

und bestimmst alle x mit P*x=x .  Die bilden den Bildraum und dazu

senkrecht ist die Proj.richtung.

Comments

wie genau bist du auf die matrix von a gekommen?Da hänge ich etwas.Ist bei a richtig also bei 3v+5v das da x1 = 1 rauskommt und x2= 11 ??

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wie genau bist du auf die matrix von a gekommen?Da hänge ich etwas.

dazu musst du den Vektor (x1,x2) in der Form a*v + b*w darstellen,

weil du halt f(v) und f(w) kennst. wenn du dann f(a*v + b*w) ausrechnen

willst, brauchst du nur (wegen der Linearität der Abb.)

a*f(v + b*f(w)zu rechnen.

(x1,x2) =a*v + b*w= ( a+b , a-b) bekommst du a= 0,5(x1+x2)  und b= o,5 (x1-x2)

also ist f(x1,x2)=  0,5(x1+x2) *f(v) +o,5 (x1-x2)*f(w)

das musst du einfach mal ausrechnen, gibt dann

(0,5x1 + 1,5x2 , 1,5x1 + 0,5x2)

                  

mit M = 0.5   1.5

          1.5    0,5

ist das dann aber auch   M * (x1,x2)

Ist bei a richtig also bei f(3v+5w) = 3*2*v + 5 * (-w) =6v-5w= 

das da x1 = 1 rauskommt und x2= 11 ??    JA!