Zeigen Sie, dass U, W und U ∩ W Untervektorräume von ℝ^{4} sind. Geben Sie auch die Dimension dieser Vektorräume an.

Question

Gegeben seien zwei Untermengen \( U \) und \( W \) des \( \mathbb{R}^{4} \) mit

\( \begin{aligned} U &=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} \\ W &=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{2}=0, x_{3}=2 x_{4}\right\} \end{aligned} \)

a) Zeigen Sie, dass \( U, W \) und \( U \cap W \) Untervektorräume von \( \mathbb{R}^{4} \) sind.

b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis von \( U, W \) und \( U \cap W \). Geben Sie auch die Dimension dieser Vektorräume an. Welche Dimension hat \( U+W ? \)

Answer 1

In U sind alle Vektoren (x1,x2,x3,x4)  (ich lass das hoch t mal weg ) von IR^4 bei denen
x2+x3+x4=0 gilt.   Also x1,x2,x3 können ganz beliebig sein, nur x4= -x2-x3 muss gelten, also
sehen die alle so aus   ( r , s, t,  -s-t ) mit r,s,t aus IR.
wenn man solche addiert oder mit einem x aus IR multipliziert, gilt für die Ergebnisse auch wieder

x2+x3+x4=0    also bilden sie einen Unterraum von IR^4 .

die Schreibweise r*(1,0,0,0) + s*(0,1,0,-1) + t*(0,0,1,-1) zeigt
(1,0,0,0)    ,   (0,1,0,-1)     ,(0,0,1,-1)  bilden eine Bais für U, also dim=3.

bei W ähnlich