Funktion ableiten mit Quotientenregel? f(x) = (1/x + √x) : (1/x - √x)

Question

Könnten Sie mir freundlicherweise bei einem Problem helfen? Ich muss die Ableitung von folgender Funktion bilden:

$$f ( x ) = \left( \frac { 1 } { x } + \sqrt { x } \right) : \left( \frac { 1 } { x } - \sqrt { x } \right)$$

Ich glaube, dass ich die Quotientenregel anwenden muss, jedoch weiß ich nicht, was u'(x), v'(x) und v²(x) ist, oder wie man sie überhaupt bildet.

Answer 1

Also, du hast richtig erkannt, dass man hier die Quotientenregel benutzen muss.
Identifiziere folgendermaßen:

$$u ( x ) = \frac { 1 } { x } + \sqrt { x } \\ v ( x ) = \frac { 1 } { x } - \sqrt { x }$$

Da man in Summen einfach die einzelnen Summanden ableiten kann, folgt für u'(x) und v'(x):

$$u ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \\ v ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } }$$

Damit folgt für f'(x)=(u'v-v'u)/v²

$$f ( x ) = \frac { \left( - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \right) \left( \frac { 1 } { x } - \sqrt { x } \right) - \left( - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \right) \left( \frac { 1 } { x } + \sqrt { x } \right) } { \left( \frac { 1 } { x } - \sqrt { x } \right) ^ { 2 } } \\ = \frac { - \frac { 1 } { x ^ { 3 } } + \frac { \sqrt { x } } { x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } x } - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } + \frac { \sqrt { x } } { x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } x } + \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - 2 \frac { \sqrt { x } } { x } + x } \\ \left.\begin{aligned} & = \frac { 3 \sqrt { x } } { 1 - 2 x ^ { 3 / 2 } + x ^ { 3 } } \\ & = \frac { 3 \sqrt { x } } { \left( 1 - x ^ { 3 / 2 } \right) ^ { 2 } } \end{aligned} \right.$$