Konvergenz und Grenzwert von Reihen

Question

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihre Grenzwerte:

(i) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k^{2}-1} \),

(ii) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} k q^{k} \), wobei \( |q|<1 \).

Hinweis: Betrachten Sie das Cauchyprodukt \( \left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} q^{k}\right)^{2} \).

Answer 1

bei der ersten Qoutientenkriterium

ak+1 / ak  =  1/(4(k+1)^2 + 1)       /        1 / (4k^2 + 1)

=   (4k^2 +1 )    /   ( 4k^2 + 8k  + 5 )

=  1  -  8k/ ( 4k^2 + 8k  + 5 ) - 4 / ( 4k^2 + 8k  + 5 )    (*)
nun ist für alle k aus IN  8k /( 4k^2 + 8k  + 5 ) positiv
und  ( 4k^2 + 8k  + 5 ) >=5
also (*)
<= 1 - 0 - 4/5   =  1/5

also a_k+1 / a_k   <= 1/5    < 1   also konvergent.