Taylorpolynom bis 2. Ordnung für die Funktion f(x,y, z ) = e^{xyz} entwickeln um (1,1,1 ).

Question

entwickeln sie die funktion

f(x,y, z ) = e^xyz 

in ein Taylorpolynom um (1,1,1 ) bis zur zweiten ordnung.

bitte um hilfe

Comments

ich hab hier echt keinen anfang. bitte um eine kleine hilfe

LG

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Guck mal hier Madame

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!204:Das_mehrdimensionale_Taylorpolynom

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Hallo

ich versuch mich mal. Wenn Du nach x ableitest, kannst Du y und z als Konstante betrachten. Als Denkhilfe kannst Du dir dann auch y=3 und z=4 denken, aber später natürlich wieder ändern

\(  f(x,y,z)={ e }^{ xyz }\quad \quad \\  f'_x=\frac { \partial f(x,y,z)  }{ \partial x }=yz{ e }^{ xyz } \)

Wenn ich das richtig sehe, dann musst Du hier die Kettenregel anwenden.

Angaben ohne Gewähr, da ich Differentialrechnung noch nicht hatte. Nur so als Tipp vielleicht :)

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Hi Emre,

die partielle Ableitung ist schon richtig allerdings reicht es wenn du \( f_x \) schreibst. Das ist nämlich eine der Notationen für "f nach x abgeleitet". Der Strich oben kann also weggelassen werden.

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Hallo Yakyu :)

Ah ok Danke für die Info :)

Answer 1

Schreib dir doch erst mal hin was du brauchst:
Taylorpolynom ist
T(x,y,z) = f(1,1,1)+f_x(1,1,1)*(x-1)+f_y(1,1,1)*(y-1)+f_z(1,1,1)*(z-1)
              +0,5*fxx(1,1,1)*(x-1)^2 +0,5*fxy(1,1,1)*(y-1)(x-1) +0,5*fxz(1,1,1)*(x-1)(z-1)
              +0,5*fyx(1,1,1)*(x-1)(y-1) +0,5*fyy(1,1,1)*(y-1)^2 +0,5*fyz(1,1,1)*(z-1)(y-1)
              +0,5*fzx(1,1,1)*(x-1)(z-1) +0,5*fzy(1,1,1)*(y-1)(z-1) +0,5*fzz(1,1,1)*(z-1)^2
Ich hab mal die ganzen Abl-Striche weggelassen!

und jetzt geht es los:  f(1,1,1)=e
f_x(x,y,z)=y*z*e^xyz (s. Kommentar) also  f_x(1,1,1)=1*1*e^{1} = e
f_y(x,y,z)=x*z*e^xyz      also wieder nur e.
etc.
Bei den 2. Ableitungen wird es etwas wilder.
zuerst nicht:
f_xx(x,y,z)=    (Du musst also y*z*e^xyz nochmal nach x ableiten, gibt
f_xx(x,y,z)=y^2*z^2 *e^xyz     also wieder für 1,1,1 als Erg. e
aber
f_xy(x,y,z)=   (Du musst also y*z*e^xyz nach y ableiten, da brauchst du die Produktregel
                    mit u= y*z   und   v=  e^{xyz}  
                 also  u ' = z              v ' = xz*   e^{xyz}  
also f_xy(x,y,z)=  yz* xz*   e^{xyz}   + z *  e^{xyz}   =yxz^2 *   e^{xyz}   + z *  e^{xyz} 
also f_xy(1,1,1)=   1*e + 1*e = 2e
beruhigend ist, dass bei  f_yx(x,y,z) das gleiche rauskommt. (Satz von Schwarz!)

und dann noch viel Spaß bei dem Rest.