Zeigen Sie mit Hilfe von Satz III.2.4, dass \( f:[0, \infty[\rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sqrt[3]{x} \) stetig ist.
Satz 4. \( f \) ist genau dann stetig in \( x \in D \), wenn
\( \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall y \in D:(|x-y|<\delta \Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon) \)
Beweis.,\( \Leftarrow^{“} \) Sei \( \left(x_{n}\right)_{n} \) eine Folge in \( D \) mit \( x=\lim \limits_{n} x_{n} \), und sei \( \varepsilon>0 \). Wähle \( \delta>0 \) so daB
\( \forall y \in D:(|x-y|<\delta \Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon) \)
Wähle \( n_{0} \in \mathbb{N} \), so daß
\( \forall n \geq n_{0}:\left|x-x_{n}\right|<\delta \)
Dann gilt \( \left|f(x)-f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon \) für alle \( n \geq n_{0} . \) Fazit: \( \left(f\left(x_{n}\right)\right)_{n} \) konvergiert (gegen \( \left.f(x)\right) \). " \( \Rightarrow \) "Wir zeigen die Kontraposition. Sei \( \varepsilon>0 \), so daß
\( \forall \delta>0 \exists y \in D:(|x-y|<\delta \wedge|f(x)-f(y)| \geq \varepsilon) \)
Für \( n \in \mathbb{N} \) wähle man \( \left.x_{n} \in\right] x-1 / n, x+1 / n\left[\cap D\right. \) mit \( \left|f(x)-f\left(x_{n}\right)\right| \geq \varepsilon \). Dann gilt \( \lim \limits_{n} x_{n}=x \), aber \( \left(f\left(x_{n}\right)\right)_{n} \) konvergiert nicht gegen \( f(x) \)
